Prinstonā, 1950 |
|
-------------------------------------------------Noregulē savas pārlūkprogrammas loga platumu!-------------------------------------- |
Kurta Gēdela galvenais un slavenākais rezultāts: nepilnības teorēma (1931) (incompleteness theorem, teorema o nepolnote). Domas par šī rezultāta nozīmību dalās: 1. Gēdela nepilnības teorēma nozīmē revolūciju mūsu priekšstatos par matemātikas būtību, kas ir salīdzināma ar Einšteina relativitātes teorijas izraisīto apvērsumu mūsu priekšstatos par laiku un telpu. 2. Gēdela nepilnības teorēma ir tīri tehnisks rezultāts, kas parāda to, kas jau sen tāpat bija skaidrs - ka "īsto, dzīvo" matemātiku nav iespējams līdz galam aksiomatizēt. Beigās mēs pie šiem vērtējumiem vēl atgriezīsimies. Arī Gēdela visai interesanto biogrāfiju aplūkosim vēlāk - kad būsim pārliecinājušies (ja būsim...), ka to ir vērts darīt. |
Gēdela nepilnības teorēma Vispirms mēģināsim saprast Gēdela teorēmu kā tīri matemātisku rezultātu, nemēģinot to "tiesāt" no savām "filosofiskajām pozīcijām": Gēdela nepilnības teorēma (salīdzinot ar 1931.gadu, modernizēts formulējums). Ja T ir formāla teorija, kurā var pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības, tad šīs teorijas valodā var uzrakstīt tādu apgalvojumu GT, ka: a) Ja teorijā T apgalvojumu GT var pierādīt, tad teorijā T var izvest pretrunu. b) Ja teorijā T apgalvojumu GT var apgāzt, tad teorijā T var izvest pretrunu. Šī teorēma ir absolūti konstruktīva: visiem trīs "var" atbilst algoritmi. |
Paredzamie jautājumi 1. Ko nozīmē "formāla teorija"? 2. Ko nozīmē "var pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības"? 3. Ko nozīmē "var izvest pretrunu"? 4. Par ko "runā" apgalvojums GT? Apgalvojums GT "runā" par veselo skaitļu īpašībām, tā pamatā ir polinoms ar veseliem koeficientiem PT(x1, ..., xn), un GT apgalvo, ka Ax1...Axn PT(x1, ..., xn)<>0, t.i. ka Diofanta vienādojumam PT(x1, ..., xn)=0 nav atrisinājumu (veselos skaitļos). Gēdela teorēmas sasaiste ar Diofanta vienādojumiem, protams, kļuva iespējama tikai 1970.gadā, kad J.Matijasevičs pabeidza Hilberta 10.problēmas risināšanu. |
Formālās teorijas I Matemātikas (arvien dziļākas) aksiomatizācijas process: Eiklīda ģeometrijas aksiomas, komplekso skaitļu ģeometriskā interpretācija, bezgalīgu rindu konverģences precīza definīcija, funkcijas un nepārtrauktības jēdzienu precīzas definīcijas, "bezgalīgi mazo" lielumu aizstāšana ar funkciju robežām, reālo skaitļu definīcija, balstoties uz racionāliem skaitļiem, visu matemātikas jēdzienu reducēšana uz kopu teorijas jēdzieniem. Cik tālu šis process var aiziet? Kāds būtu tā "galapunkts" (ja tāds ir iespējams)? Teorijas, kur absolūti viss ir aksiomatizēts? Pirmo "absolūti aksiomātisko" matemātisko teoriju Concept Script 1879.gadā publicēja Gotlobs Frēge, pēc tam 1910.-1913.gados savu Principia Mathematica publicēja Bertrans Rasels, 1908.gadā Ernsts Cermelo publicēja pirmo kopu teorijas aksiomu sistēmu, bet 1928.gadā tagad pieņemto loģikas aksiomatizāciju publicēja Dāvids Hilberts un Vilhelms Akermans. |
Formālās teorijas II Bet vispārīgs jēdziens par "absolūti aksiomātisku" matemātisku teoriju kļuva iespējams tikai 1936.gadā, kad radās matemātiski precīzs jēdziens par algoritmu (Tūringa mašīnas, Čērča tēze). Teorijas sastāvdaļas: valoda, apgalvojumi (īpaši teksti valodā), pierādījumi (īpaši teksti valodā, korekti un nekorekti pierādījumi), teorēmas (apgalvojumi, kam eksistē korekti pierādījumi). Savu teoriju mēs drīkstam saukt par formālu (jeb "absolūti aksiomātisku") teoriju, ja mēs spējam uzdot algoritmu, kas (bez cilvēka iejaukšanās) atšķir korektus pierādījumus no nekorektiem. Šajā definīcijā aksiomas nemaz nav pieminētas. Kāpēc? Tāpēc, ka formalizācijas būtiskā pazīme ir vispārīgāka: vai pierādījumu korektības pārbaudi mēs protam 100% nodot datorprogrammai? Ja nespējam, tad formalizācija vēl nav pabeigta. Aksiomatizācija ir tikai viens no veidiem, kas ļauj iegūt algoritmiski pārbaudāmu pierādījuma jēdzienu. |
Formālās teorijas III Šaha spēle kā formālas teorijas piemērs: apgalvojumi (pozīcijas), aksioma (sākuma pozīcija), izveduma likumi (spēles noteikumi nosaka, kādas jaunas pozīcijas drīkst "izvest" no dotās), pierādījums (šaha partijas pieraksts), teorēmas (pozīcijas, ko var iegūt, ja figūras pārvieto, ievērojot noteikumus). Šahs ir formāla teorija, jo tajā ar pierādījumu (t.i. partiju pierakstu) korektības pārbaudi (bez cilvēka iejaukšanās) tiek galā datorprogramma. Šeit nevajadzētu sajaukt (gatavu) pierādījumu korektības pārbaudi un apgalvojumu pierādāmības noskaidrošanu. Vai dotais apgalvojums dotajā teorijā ir pierādāms? Tas ir daudzkārt sarežģītāks uzdevums nekā (gatavu) pierādījumu korektības pārbaude. Šaha spēles gadījumā tam atbilst uzdevums: vai doto pozīciju ir iespējams iegūt, ja figūras pārvieto, ievērojot noteikumus? Vēlāk redzēsim, ka nopietnām matemātiskām teorijām šis uzdevums nemaz nav algoritmiski atrisināms. |
... var pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības... Gēdela nepilnības teorēmas formulējumā šī piebilde ir būtiska. Jo pavisam vienkāršas teorijas var būt pilnīgas - dažkārt tās tiešām spēj pierādīt vai apgāzt jebkuru apgalvojumu, ko var noformulēt to valodās. Bet Gēdela nepilnības teorēma attiecas tikai uz tām teorijām, kuru iespējas ir pietiekami lielas - tām, kurās var pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības. Spēja pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības, izrādās, ir ekvivalenta spējai aprakstīt jebkuras Tūringa mašīnas darbību. Tāda vai citāda šīs spējas "apspēlēšana" ir Gēdela teorēmas visu pierādījumu pamatā (sk. tālāk Lemmu 3). |
Pretrunas un bezpretrunība Pretruna ir situācija, kad kādā teorijā kādu apgalvojumu izdodas vienlaicīgi gan pierādīt, gan apgāzt. Protams, šāda situācija ilgāku laiku nav paciešama. Ja teorijā konstatētas pretrunas, tad tās pamati ir jāpilnveido, pretrunas novēršot. Vai pēc teorijas pilnveidošanas pretrunas tajā vairs nevarēs rasties? Kā par to pārliecināties? Vai matemātikā reālas pretrunas ir novērotas? Jā, un slavenākie gadījumi ir šādi: iracionālo skaitļu atklāšana (VI gs.p.m.ē.), nejēdzīgi spriedumi par kompleksiem skaitļiem un diverģentām rindām (XVIII gs.), pārliecība, ka jebkura nepārtraukta funkcija ir diferencējama visur, izņemot atsevišķus "lūzuma" punktus (XIX gs.), Rasela paradokss kopu teorijā (XX gs. sākumā). Vai, "pēc tā visa", mēs varam būt pārliecināti, ka mūsu tagadējie priekšstati par bezgalīgām kopām, par reālo skaitļu taisni, vai pat par veseliem skaitļiem - "beidzot" ir 100% bezpretrunīgi? (Tāda vai citāda atbilde uz šo jautājumu var stipri ietekmēt Gēdela teorēmas vērtējumus.) |
Gēdela nepilnības teorēma (vēlreiz) Vēlreiz mēģināsim saprast Gēdela teorēmu kā tīri matemātisku rezultātu, nemēģinot to "tiesāt" no savām "filosofiskajām pozīcijām": Gēdela nepilnības teorēma (salīdzinot ar 1931.gadu, modernizēts formulējums). Ja T ir formāla teorija, kurā var pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības, tad šīs teorijas valodā var uzrakstīt tādu apgalvojumu GT, ka: a) Ja teorijā T apgalvojumu GT var pierādīt, tad teorijā T var izvest pretrunu. b) Ja teorijā T apgalvojumu GT var apgāzt, tad teorijā T var izvest pretrunu. Šī teorēma ir absolūti konstruktīva: visiem trīs "var" atbilst algoritmi (paskaidrot sīkāk). |
Secinājumi (pagaidām - bez filosofijas!) Strādājot ar jebkuru formālu teoriju T, mēs neizbēgami nokļūsim nepatikšanās vienā no 3 virzieniem: a) Ar T palīdzību mēs nespēsim pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības. b) Izmantojot T līdzekļus, mēs kādreiz izvedīsim pretrunu, t.i. teorijas T pamatus mums nāksies pilnveidot. Bet tad tā būs jau cita teorija... c) Izmantojot T līdzekļus, apgalvojumu GT (par kāda Diofanta vienādojuma īpašībām) mēs nekad nespēsim ne pierādīt, ne apgāzt, t.i. teorijā T var noformulēt problēmu, ko tā nespēj atrisināt. Neviens no Gēdela teorēmas pierādījumiem nedod nekādus matemātiskus līdzekļus, kas ļautu noskaidrot, kas tieši mūs sagaida nākotnē - pretrunas vai neatrisināmas problēmas. |
Secinājumi (filosofijas pirmais ekstrēmais variants) a) Dzīvajā matemātikā mēs, protams, varam pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības. b) Dzīvā matemātika ir bezpretrunīga, jo ikviens noteikts apgalvojums par matemātiskiem objektiem, ir vai nu patiess, vai aplams. c) Dzīvajā matemātika nav neatrisināmu problēmu, jo ikviens noteikts apgalvojums par matemātiskiem objektiem, ir vai nu patiess, vai aplams. Tātad no Gēdela nepilnības teorēmas seko, ka dzīvā matemātika nav līdz galam formalizējama. Neviena fiksēta formāla teorija to nevar aizstāt visu dzīvo matemātiku. Formālas teorijas var dzīvo matemātiku tikai vairāk vai mazāk labi aproksimēt. (Ko dzīvajā matemātikā nozīmē patiesums, ja to nevar nodefinēt ar aksiomām? Šis jautājums būtu sākums lielai diskusijai par t.s. matemātisko platonismu.) |
Secinājumi (filosofijas otrais ekstrēmais variants) I Dzīvajā matemātikā mēs izmantojam ne līdz galam noteiktu un neprecīzu intuīciju. Šo nenoteiktību un neprecizitāti mēs labojam ar aksiomatizācijas un formalizācijas palīdzību. Nav jēgas runāt par matemātisko apgalvojumu "objektīvo" patiesumu, ir jēga runāt tikai par to, ko var vai nevar izvest no tādām vai citādām aksiomām. Matemātiska teorija ir matemātiska tikai par tik, par cik tā ir formalizējama. Gēdela nepilnības teorēma liecina, ka neviena matemātiska teorija nevar būt līdz galam perfekta - strādājot ar vienu fiksētu teoriju, mēs neizbēgami nokļūsim nepatikšanās vienā no 3 virzieniem - (a), (b) vai (c). Nonākot jebkurā no šīm situācijām, mēs varam mēģināt teorijas pamatus pilnveidot (novēršot pretrunas, papildinot aksiomas tā, lai neatrisināmās problēmas kļūtu atrisināmas). Rezultātā mēs iegūsim citu - modificētu teoriju, kura, saskaņā ar Gēdela teorēmu, protams, atkal nebūs līdz galam perfekta... Jautājums: vai mums ir vajadzīgs vēl kaut kas vairāk par šo aizraujošo procesu? |
Secinājumi (filosofijas otrais ekstrēmais variants) II Gēdela nepilnības teorēmu var uzskatīt arī par liecību par labu šādai ļoti vispārīgai (un ļoti dialektiskai - kā teiktu agrāk) vispār-filosofiskai tēzei: Fiksēta (nemainīga, sastingusi) uzskatu (principu) sistēma nevar būt perfekta. Tā vai nu a) ir ļoti šauri specializēta, vai arī b) ir pietiekami universāla, bet tad, to neierobežoti attīstot, mēs nonāksim vai nu pretrunās, vai problēmās, ko (paliekot sistēmas robežās) nespēsim atrisināt. Izeja no šīs situācijas - sistēmu pilnveidot (mainīt). Pretrunu gadījumā izmaiņas var būt nopietnas (no kāda principa būtu jāatsakās, vai vismaz - jāsamazina tā vispārīgums, tā radās ZFC aksiomas). Neatrisināmu problēmu gadījumā var palīdzēt jaunu principu (hipotēžu) pievienošana sistēmai. |
Cik nopietnas ir pretrunu briesmas mūsdienu matemātikā? "Iekšējā balss" nevar būt pietiekami drošs pamats pārliecībai, ka pretrunas nav iespējamas tāpēc, ka "ikviens noteikts apgalvojums par matemātiskiem objektiem, ir vai nu patiess, vai aplams". Piemērs - Rasela paradokss kopu teorijā. Aptveršanas aksiomu shēma (comprehension, svyortivanie, F(x) ir jebkura formula kopu teorijas valodā, kas nesatur y, "x in y" nozīmē "x ir y elements"): EyAx (x in y <-> F(x)). Šī aksiomu shēma ir "acīm redzami patiesa" jebkuram cilvēkam, kurš vēl nezina, kas notiks tālāk. Bertrans Rasels 1902.gadā ieteica pamēģināt F(x) vietā formulu ~(x in x) (~ ir negācijas simbols): EyAx (x in y <-> ~(x in x)), tātad: Ey(y in y <-> ~(y in y)). Pretruna. Tātad aptveršanas aksiomu shēma tās vispārīgajā veidā neder par kopu teorijas pamatu (kaut arī "iekšējā balss" saka, ka tā ir "acīm redzami patiesa"). Šis defekts kopu teorijas pamatos tika izlabots jau 1908.gadā, kad Ernsts Cermelo publicēja daudz sarežgītāku kopu teorijas aksiomu sistēmu, kurā Rasela paradokss vairs nav atkārtojams. Šīs sistēmas modernizēto variantu (t.s. Cermelo-Frenkeļa aksiomas, Zermelo-Fraenkel, ZFC) šodien uzskata par oficiālo matemātisko kopu teoriju. (ZFC=ZF+AC, kur AC nozīmē axiom of choice, izvēles aksiomu). Vai, strādājot ar ZFC, pretrunas vairāk neradīsies? To cilvēku "iekšējā balss", kuri intensīvi strādā mūsdienu kopu teorijā (t.i. ZFC), uzskata, ka neradīsies. Vai viņiem var ticēt? Un kāpēc mēs nevarētu dzīvot un strādāt bez šīs ticības? |
Cik nopietnas ir neatrisināmu problēmu briesmas mūsdienu matemātikā? Tā kā uz Cermelo-Frenkeļa kopu teoriju ZFC, Gēdela teorēma secinājumi, protams, attiecas, tad šajā teorijā ir jābūt vai nu pretrunām, vai neatrisināmām problēmām. Gēdela teorēma to tikai prognozē, jo, tās piedāvātais neatrisināmais apgalvojums GZFC, protams, nevienam neliekas interesants. Taču šī prognoze 30 gadu laikā (pēc 1931.gada) piepildījās. Vispirms, 1938.gadā pats Gēdels pierādīja, ka ZFC nav pretrunu -> ZFC+CH arī nav pretrunu, kur CH ir Georga Kantora kontinuum-hipotēze (formulēta 1878.gadā). Un beidzot, 1963.gadā Paul Cohen pierādīja, ka ZFC nav pretrunu -> ZFC+~CH arī nav pretrunu. Tātad oficiālās kopu teorijas aksiomas nespēj kontinuum-hipotēzi ne pierādīt, ne apgāzt. Un tas vairs nav apgalvojums, kas nevienu neinteresē! Pēc 1963.gada ir pierādīta gandrīz visu līdz tam neatrisināto kopu teorijas problēmu neatrisināmība. |
Kā kopu teorijas speciālisti cenšas pārvarēt Gēdela teorēmas uzliktos ierobežojumus? Ko darīt šādā situācijā, kad nevienu no interesantām kopu teorijas problēmām nevar atrisināt, balstoties uz vispāratzītajām ZFC aksiomām? (Starp citu, visu pārējo "pierādīto" matemātiku no šīm aksiomām tomēr izvest var.) Jau pirms 1963.gada bija zināmas tik ļoti tālejošas kopu teorijas hipotēzes (t.s. lielo kardināļu aksiomas), ka to bezpretrunību nevar izvest no ZFC bezpretrunības (t.i. var pierādīt, ka ja ZFC var pierādīt Con(ZFC)->Con(ZFC+H), tad ZFC ir pretrunīga). Piemērs (t.s. measurable cardinal axiom): eksistē nesanumurējama kopa k, kuras visām apakškopām var nodefinēt k-aditīvu, netriviālu, 0-1-vērtīgu mēru. Tagad ir izgudrotas jau 17 tādas aksiomas - katra nākošā "tālejošāka" par iepriekšējo (sk. Oliver Deiser sastādīto katalogu). Mērojamo kardināļu aksioma ir 6. no tām. Pēdējā - 17.aksioma, kopā ar ZFC jau noved pie pretrunām. Bet pārējās 16 novest līdz pretrunām neizdodas. Speciālisti uzskata, ka tas nozīmē, ka "īstenībā" tādu pretrunu nemaz nav. Viņi pat ir izvirzījuši vispārīgu principu: Ja "dabiska" hipotēze nenoved pie "viegli" izvedamām pretrunām, tad tā ir bezpretrunīga. Tiesa gan, neviena no 16 lielo kardināļu aksiomām (ko tagad pieņemts saukt par "ZFC kanonisko paplašinājumu"), nespēj atrisināt kontinuum-hipotēzi (šo faktu var pierādīt). |
Sīkāk par mērojamo kardināļu aksiomu Aksiomas formulējums. Eksistē nesanumurējama kopa k, kuras visām apakškopām var nodefinēt k-aditīvu, netriviālu, 0-1-vērtīgu mēru. Tas nozīmē, ka eksistē mērs, kas definēts visām k apakškopām (t.i. funkcija m: P(k) -> {0,1}, kur P(k) ir visu k apakškopu kopa) tāds ka: 1) Visiem k elementiem x, m({x})=0 (t.i. vismazāko kopu mērs ir 0) 2) m(k) = 1 (t.i. pašas kopas k mērs ir 1) 3) Ja a, b ir k apakškopas, a ir b apakškopa, tad m(a)<=m(b) (mērs ir monotons) 4) Ja card(s)<card(k), b={bi | i in s}, bi ir k apakškopas, m(bi)=0, tad m(Ub)=0 (mērs ir k-aditīvs). Kāpēc nesanumurējama kopa? Tāpēc, ka sanumurējamai kopai šādu mēru var ievest ļoti viegli: m(x)=0, ja x ir galīga kopa, m(x)=1, ja bezgalīga. |
Vai lielo kardināļu aksiomas vispār spēj kaut ko atrisināt? Vienubrīd, tāda cerība parādījās - 1992.gadā R.Laver, izmantojot ļoti spēcīgo I3 aksiomu (tā ir 13.vietā zināmajā 16 lielo kardināļu sarakstā) pierādīja, ka brīvām, kreisi-distributīvām algebrām ar vienu ģeneratoru vārdu problēma ir algoritmiski atrisināma. T.i., izmantojot lielu kardināļu eksistenci, tikai pierādīta algoritma eksistence (faktiski jau, algoritms, droši vien, tika nodefinēts bez kardināļiem, un tos ievajadzējās tikai algoritma konverģences pierādīšanai). Bet jau 1994.gadā P.Dehornoy pierādīja šo teorēmu, vairs neizmantojot lielo kardināļu aksiomas. Tikai pierādījums nu bija par kārtu sarežģītāks un ne tik skaists kā Lavera pierādījums... Tātad vēl joprojām nav zināmas nozīmīgas matemātiskas problēmas, kuru risināšana būtu iespējama tikai, izmantojot lielo kardināļu aksiomas. Nenoliedzama ir tikai šo aksiomu "uzvedinošā funkcija" ("revealer") - varbūt, dažus algebras vai topoloģijas rezultātus nemaz neizdotos iegūt, ja pašā sākumā nebūtu mēģināts izmantot lielo kardināļu aksiomas. Man tas atgādina klasiskās un konstruktīvās loģikas attiecības: klasiskie nekonstruktīvie spriedumi it kā "rāda ceļu" vēlākajiem konstruktīvajiem pierādījumiem. |
Viens no Gēdela teorēmas pierādījumiem I Lemma 1. Formālas teorijas visu teorēmu kopa ir efektīvi (rekursīvi) sanumurējama, t.i. var uzrakstīt programmu, kas drukā visas šīs teorijas teorēmas un tikai tās. Pierādījums. Tiešām, ja teorijai T ir zināmas funkcijas GetFirstStringT(), GetNextStringT(), IsCorrectProofT(string), ExtractTheoremT(proof), tad ir viegli uzrakstīt programmu, kas drukā visas teorēmas un tikai tās: s = GetFirstStringT(); |
 |
Viens no Gēdela teorēmas pierādījumiem II Lemma 2. Ja efektīvi sanumurējamas kopas papildinājums arī efektīvi sanumurējams, tad šī kopa ir efektīvi atrisināma (rekursīva). Pierādījums. Tiešām, ja kopai K un tās papildinājumam K' ir zināmas funkcijas GetFirstMemberK(), GetNextMemberK(), GetFirstMemberK'(), GetNextMemberK'(), tad ir viegli uzrakstīt funkciju IsMemberK(string): bool IsMemberK(string) { |
 |
Viens no Gēdela teorēmas pierādījumiem III Lemma 1 ļauj mums attēlot formālas teorijas T "funkcionēšanu" tā, kā tas parādīts šajā attēlā. Taisnstūris attēlo visu iespējamo teorijas T apgalvojumu kopu. Kas notiks tālāk? 1) Ja abas kopas kaut kad sāks pārklāties, tad teorijā T būs atrasta pretruna. 2) Ja, strādājot līdz bezgalībai, abas kopas "beidzot sastapsies", tad teorija T ir pilnīga - katrs tās apgalvojums ir vai nu pierādāms, vai apgāžams. 3) Ja, strādājot līdz bezgalībai, abu kopu starpā paliks tā arī neaizpildīta "teritorija", tad teorija T ir nepilnīga - "neitrālās teritorijas" apgalvojumus tā nespēj ne pierādīt, ne apgāzt. Tātad, ja mums izdotos kādai teorijai T pierādīt, ka tās teorēmu kopa nav efektīvi atrisināma (t.i. nav rekursīva), tad saskaņā ar Lemmu 2, mums būtu darīšana ar situāciju (3), t.i. būsim pierādījuši, ka T valodā eksistē apgalvojumi, ko T nespēj ne pierādīt, ne apgāzt. |
Viens no Gēdela teorēmas pierādījumiem IV Lemma 3 precizē apgalvojumu, ka ja teorija spēj pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības, tad tā spēj aprakstīt jebkuras Tūringa mašīnas darbību. Lemma 3. Ja T ir formāla teorija, kurā var pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības, tad tās valodā jebkurai Tūringa mašīnai M var uzrakstīt aritmētikas formulu HM(x, y, z) tādu, ka visiem n: a) Ja mašīna M, saņemot darba sākumā skaitli n, pēc t soļiem apstājas, izdodot rezultātu k, tad T pierāda formulu HM(n, t, k) (n, t, k ir skaitļu n, tpieraksts T valodā). a) Ja mašīna M, saņemot darba sākumā skaitli n, pēc t soļiem neapstājas, izdodot rezultātu k, tad T pierāda formulu ~HM(n, t, k). Pierādījums. Desmit un vairāk lappušu jebkurā loģikas mācību grāmatā. (Ievērojiet, ka šīs lemmas pierādīšanai nav vajadzīgs pieņēmums, ka T ir bezpretrunīga teorija.) Šāda lemma, protams, nebija pieejama Gēdelam 1931.gadā. Tā kļuva iespējama tikai 1936.gadā, kad izveidojās formalizētais algoritma jēdziens. Gēdels, lai varētu pierādīt savu teorēmu, būtībā izgudroja primitīvi rekursīvās funkcijas jēdzienu... |
Viens no Gēdela teorēmas pierādījumiem V Lai pierādījumu pabeigtu, ņemsim divas rekursīvi neatdalāmas naturālu skaitļu kopas K1 un K2, un Tūringa mašīnu M, kura rēķina šādu funkciju: f(x) = 1, ja x pieder K1, f(x) = 2, ja x pieder K2, citādi - f(x) nav definēta. Un tad aplūkosim šādu formulu F(x) (ideja pieder B.Rosseram, 1936): Et(HM(x,t,1) & (Az<t)~HM(x,z,2)). F(x) apgalvo, ka M uz x apstājas un izdod 1, bet līdz tam - neapstājas, izdodot 2. Viegli pārliecināties, ka: 1) Ja skaitlis n pieder K1, tad T pierāda formulu F(n). 2) Ja skaitlis n pieder K2, tad T pierāda formulu ~F(n). Secinājums. Ja teorija T ir bezpretrunīga, tad tās pierādāmo formulu kopa ir rekursīvi neatdalāma no apgāžamo formulu kopas (sk. iepr. bildi). Tātad T teorēmu kopa nav rekursīva (nav iespējams algoritms, kas par katru apgalvojumu var pateikt, vai T var to pierādīt, vai nevar). Gēdela teorēma pierādīta. |
Gēdela teorēmas oriģinālais pierādījums (nedaudz modernizēts) 1. Meļa paradokss: ar p apzīmēsim apgalvojumu "p ir aplams". Šādu apgalvojumu nav iespējams uzskatīt ne par patiesu, ne par aplamu - abos gadījumos rodas pretruna. 2. Gēdela ideja - modelēsim meļa paradoksu aritmētikā, mēģinot uzrakstīt aritmētikas apgalvojumu GT, kas apgalvotu, ka "GT nevar pierādīt teorijā T". Lai aritmētikas apgalvojumi varētu "runāt par sevi", tie ir jānokodē ar naturāliem skaitļiem (ģeniāla Gēdela ideja!) 3. Gēdela numerācija: katru teorijas T apgalvojumu un katru pierādījumu kodē ar naturālu skaitli - Gēdela numuru. 4. Nekustīgā punkta teorēma (self-reference lemma). Ja T var pierādīt vienkāršākās naturālo skaitļu īpašības, tad jebkurai aritmētikas formulai F(x) ar vienu brīvu mainīgo x var uzrakstīt tādu aritmētikas apgalvojumu G, ka T var pierādīt ekvivalenci G<->F(G) (G ir G Gēdela numurs). T.i G it kā apgalvo, ka tam piemīt īpašība F. |
Gēdela teorēmas oriģinālais pierādījums II 5. Tā kā "#y ir apgalvojuma #x pierādījums teorijā T" ir rekursīvs (izrēķināms) predikāts, tad saskaņā ar Lemmu 3 varam uzrakstīt aritmētikas formulu PRFT(x, y) tādu, ka: a) Ja #n ir apgalvojuma #m pierādījums teorijā T, tad T pierāda PRFT(m, n). b) Ja nē, tad T pierāda ~PRFT(m, n). 6. Tagad, izmantojot nekustīgā punkta teorēmu, modelēsim meļa paradoksu. Formula ~EyPRFT(x, y) apgalvo, ka apgalvojums #x nav pierādāms teorijā T. Saskaņā ar nekustīgā punkta teorēmu, var uzrakstīt tādu aritmētikas apgalvojumu GT, ka T var pierādīt ekvivalenci GT<->~EyPRFT(GT, y) (GT ir GT Gēdela numurs). Tātad GT apgalvo, ka "GT nevar pierādīt teorijā T". 7. Kas tagad notiks? |
Gēdela teorēmas oriģinālais pierādījums III 8. Ja GT var pierādīt teorijā T, un n ir šī pierādījuma numurs, tad T pierāda PRFT(GT, n), t.i. arī EyPRFT(GT, y) un arī ~GT. Tātad šai gadījumā T ir izvedama pretruna. 9. Pieņemsim tagad, ka teorijā T var pierādīt ~GT, t.i. EyPRFT(GT, y). Tas ir apgalvojums, ka teorijā T eksistē GT pierādījums. T.i. no tā it kā būtu jāseko, ka T ir pretrunīga teorija. Īstenībā mēs te varam pierādīt tikai, ka T šai gadījumā ir "omega-pretrunīga" (šis jēdziens noved pie t.s. aritmētikas nestandarta modeļiem, sk. tālāk). 10. Šos sarežģījumus 1936.gadā izdevās novērst B.Rosseram, definējot apgalvojumu GT mazliet sarežģītāk: GT <-> Ay(PRFT(GT, y) -> Ez(z<y & PRFT(~GT, y))). Šeit GT apgalvo, ka ja to var pierādīt teorijā T, tad to vēl vieglāk ir apgāzt. Šim apgalvojumam ir viegli iegūt pretrunu gan tad, ja tas ir pierādams teorijā T, gan tad, ja tas ir apgāžams. Gēdela teorēma pierādīta. |
Aritmētikas nestandarta modeļi Apgalvojumam GT ir šāda īpašība: tas ir izskatā AyF(y), un ja T ir bezpretrunīga teorija, tad: a) T pierāda F(0), F(1), F(2), utt. katram naturālu skaitļu apzīmējumam (1+1+1 apzīmē 3, utt.), b) T nevar pierādīt AyF(y). Tas nozīmē, ka teorija T+ = T + Ey~F(y) ir bezpretrunīga. Ko mēs "redzam", strādājot šajā teorijā? a) Visiem "standarta" naturāliem skaitļiem n piemīt īpašība F (t.i. T+ pierāda F(n)). b) Eksistē "nestandarta" naturāli skaitļi, kuriem īpašība F nepiemīt (t.i. T+ pierāda Ey~F(y)). Ja mēs aplūkojam teorijas T+ modeli, un definējam tajā standarta skaitļus kā tos skaitļus, kas interpretē apzīmējumus 0, 1, 2, 3, utt. tad mēs redzam, ka: a) Katrs standarta skaitlis ir mazāks par katru nestandarta skaitli. b) Nav vislielākā standarta skaitļa. c) Nav vismazākā nestandarta skaitļa. d) Eksistē vismazākais nestandarta skaitlis, kuram nepiemīt īpašība F. Standarta skaitļus nevar nodefinēt ar kādas formulas S(x) palīdzību (ja varētu, tad eksistētu vismazākais nestandarta skaitlis...). Kas te interesants? Tas, ka aritmētikas aksiomas neizslēdz nestandarta modeļu iespējamību (arī šajos modeļos visas parastās aritmētikas aksiomas ir patiesas). |
Secinājumi I: kas ir matemātika? Līdz 1895.gadam priekšstati par to, kas ir matemātika un kādai tai jābūt attīstījās vienā virzienā: matemātikas jēdzieni tika pārdefinēti arvien precīzāk un attīstījās jauni jēdzieni. Šo procesu zināmā mērā pabeidza un vainagoja visu matemātikas jēdzienu redukcija uz kopu teoriju. Šai brīdī uz jautājumu "kas ir matemātika?" varēja atbildēt - viss tas, ko var pierādīt kopu teorijā. Bet 1895.gadā kopu teorijā tika atklāts pirmais paradokss (un 1902.gadā atklātais Rasela paradokss parādīja, ka problēma ir vēl dziļāka). Šī krīze piespieda vēl tālāk precizēt matemātikas jēdzienu definīcijas, nonākot būtībā jau pie formālām teorijām, kur intuīcija (pamatjēdzienu definēšanai) vairs netiek izmantota. Pretrunīgās G.Kantora kopu teorijas vietā 1908.gadā tika ievesta Cermelo-Frenkeļa formālā kopu teorija ZFC. Šai brīdī uz jautājumu "kas ir matemātika?" varēja atbildēt - viss tas, ko var pierādīt ZFC. |
Secinājumi II: kas ir matemātika? Bet šai pat brīdī, pateicoties absolūti precīzām to definīcijām, visas matemātiskās teorijas pašas kļuva par matemātiskiem objektiem, ko var matemātiski pētīt. Jautājumi: vai teorija ZFC nesatur pretrunas? vai ZFC spēj atrisināt jebkuru problēmu, ko var pierakstīt tās valodā? Šie jautājumi tagad kļuva par precīzi definētām matemātiskām problēmām, kas būtībā ir ekvivalentas jautājumam: vai konkrētas Tūringa mašīnas (kas modelē ZFC) darba laikā parādīsies tādas vai citādas situācijas? Pirms 1931.gada cilvēki varēja domāt, ka šīs divas konkrētās matemātiskās problēmas izdosies atrisināt - un atrisināt pozitīvi. T.i. matemātiski pierādīt, ka no ZFC aksiomām nevar rasties pretrunas, un ka ZFC principā spēj atrisināt jebkuru problēmu. (T.s. Hilberta programma.) Bet 1931.gadā Gēdels publicēja savu nepilnības teorēmu, no kuras seko, ka ZFC ir vai nu pretrunīga, vai arī eksistē problēmas, ko tā nespēj atrisināt. Un tas nav specifisks ZFC defekts - tāds "defekts" neizbēgami piemīt jebkurai formālai teorijai, kurā var pierādīt vienkāršākās veselo skaitļu īpašības. Ko lai tagad atbildam uz jautājumu "kas ir matemātika?"? |
Secinājumi III: kas ir matemātika? Ir divas iespējas: 1) Turpināt uzskatīt, ka matemātika ir "viss tas, ko var pierādīt ZFC". Un ka Gēdela teorēmas konstatētais "defekts" piemīt pašai matemātikai. Ja ZFC aksiomas kādiem mūsu mērķiem ir nepietiekamas, tad droši papildināsim tās (piemēram, ar lielo kardināļu aksiomām). Tā mēs varam "iebraukt" pretrunās, jo nav iespējama universāla metode, kā no tām izvairīties. Un tad vajadzēs kāpties atpakaļ un izmēģināt citas aksiomas... Vai mums ir vajadzīgs kas vairāk par šo aizraujošo procesu? 2) Atteikties no matemātikas formalizācijas un aksiomatizācijas , uzskatot, ka tieši tās ir novedušas pie Gēdela teorēmas konstatētās "mazspējas". Īstā, dzīvā matemātika ir "daudz spējīgāka" un tāpēc nav formalizējama (t.i. nav līdz galam aksiomatizējama). Bet kas tādā gadījumā ir patiesības kritērijs dzīvajā matemātikā, ja izvedamība no aksiomām ir nepietiekama, lai to nodefinētu? Ar šo otro viedokli ir saistīta t.s. platonisma problēma. |
Platonisma problēma Tests: vai Jūsu priekšstati par matemātiku ir platonisms? Būvējam dvīņu pirmskaitļu virkni: (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61)... 1849.gadā tika pieteikta hipotēze, ka šī virkne ir bezgalīga. Bet ši hipotēze līdz pat šai dienai vēl nav ne pierādīta, ne apgāzta. Vai Jūs uzskatāt, ka ir tikai divas iespējas: a) Dvīņu pirmskaitļu virkne turpinās bezgalīgi. b) Dvīņu pirmskaitļu virkne apraujas aiz pēdējā dvīņu pāra. Vai nav arī kāda treša iespēja? Ja Jūs uzskatāt, ka ir tikai divas iespējas, tad Jūsu priekšstati par matemātiku ir platonisms (t.i. Jūs uzskatāt, ka matemātikas objekti eksistē neatkarīgi gan no reālās pasaules, gan no aksiomām, kas tos mēģina definēt). Diskusija par šo jautājumu neskaitās pabeigta. Ir cilvēki, kuri uzskata, ka XXI gadsimtā platonisms ir muļķīga filosofija. Bet ir arī cilvēki, kuri savu platonismu aizstāv, un brīvi publicējas zinātniskos žurnālos. Sk. manu filosofiju par platonisma pozitīvo un negatīvo lomu matemātikā. Tur ir arī mana atbilde uz jautājumu: kas ir matemātika? |
Kas no interesantā ir palicis neaplūkots? 1. Gēdela t.s. otrā nepilnības teorēma, kas apgalvo, ka neviena teorija nespēj pierādīt savu pašas bezpretrunību. 2. No 1977. gada ir zināms t.s.natural independence phenomenon: teorēmas par naturāliem skaitļiem, kuras nevar pierādīt, izmantojot tikai aritmētikas aksiomas, bet var pierādīt kopu teorijā ZFC. Divi visslavenākie gadījumi - pastiprinātā Ramseja teorēma un Gudsteina teorēma par dīvaino virkni. 3. 1986.gada Freilinga aksioma kopu teorijā. Tā ir "ticama patiesība" par reālo skaitļu taisni, kuru agrāk nebija pamanījuši, un kas ekvivalenta ar ~CH (kontinuum-hipotēzes noliegumu). 4. Kā tika pierādīta kontinuum-hipotēzes neatkarība no ZFC aksiomām. Gēdela konstruktīvās kopas. Koena forcing method. 5. Apgalvojumi, ka Gēdela teorēma pierāda cilvēka saprāta pārākumu pār datoriem. |
Kurts Gēdels Biogrāfijas: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Godel.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_Goedel#Short_Biography Kurt Gödel - Leben und Werk by Markus Krumpöck. 1931.gada raksts: Tulkojums angļu valodā: "ON FORMALLY UNDECIDABLE PROPOSITIONS OF PRINCIPIA MATHEMATICA AND RELATED SYSTEMS" |
Ar vecākiem un vecāko brāli, ap 1910 |
Biogrāfija I Dzimis 1906.gada 28.aprīlī, tekstilfabrikas direktora ģimenē, Brno pilsētā (tagad - Čehijā). Laimīga bērnība. 8 gadu vecumā, pēc slimības sāka lasīt medicīnas grāmatas... Skolā bija "vienpusīgs", vislabprātāk mācījās matemātiku un valodas. Latīņu valodā neesot ne reizi pieļāvis gramatisku kļūdu. Attēls no MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits |
Biogrāfija II 17 gadu vecumā, 1923.gadā iestājās Vīnes universitātē, vēl neizlēmis, vai specializēsies matemātikā, vai teorētiskajā fizikā (kā vienā, tā otrā zinātnē 20-tie gadi bija ļoti romantisks laiks). Esot izlēmis par labu matemātikai, pateicoties Filipa Furtvenglera lekcijām, kurš bija pilnīgi paralizēts, un lasīja lekcijas, sēžot ratiņkrēslā, asistentam rakstot uz tāfeles. Studiju laikā apmeklēja arī Morica Šlika vadīto filosofijas semināru, un pamazām viņa intereses koncentrējās uz matemātisko loģiku. Studiju biedriem pamazām kļuvis skaidrs, ka Gēdels ir ārkārtīgi talantīgs, un viņa palīdzība bija ļoti pieprasīta. Savu doktora disertāciju "Ueber die Vollstaendigkeit des Logikkalkuels" Gēdels izstrādāja Hansa Hāna vadībā un aizstāvēja 1929.gadā. Tajā viņš pierādīja teorēmu par predikātu rēķinu pilnību, ko tagad sauc par Gēdela pilnības teorēmu (completeness theorem, teorema o polnote). Ar to Gēdels atrisināja vienu no aktuālākajām tā brīža problēmām loģikā. 1929. gadā nomira Gēdela tēvs, atstājot lielu mantojumu. Gēdela māte nopirka lielu dzīvokli Vīnē, kur dzīvoja trijatā ar abiem dēliem, bieži kopā apmeklējot teātrus. |
Biogrāfija III 1930.gads - 24 gadi - zvaigžņu stunda "Historians and Mathematicians agree, 1930 was Gödels most profound year if one was to include the latter part of 1929 as well... In the summer, Gödel began work on trying to prove the relative consistency of analysis. Gödel soon discovered that truth in number theory is undefinable he later went on to prove a combinational form of the Incompleteness Theorem. In 1930, Gödel traveled several days to attend the Second Conference on Epistemology of the Exact Sciences (September 5-7). Towards the end of the Conference on the last day, Gödel spoke for the first time and, "criticized the formalist assumption that consistency of transfinite axioms assures the nonderivability of any consequence that is contentually false. He concluded, For of no formal system can one affirm with certainty that all contentual considerations are representable in it. And then v. Neumann interjected, It is not a foregone conclusion whether all rules of inference that are intuitionistically permissible may be formally reproduced." It was after this statement, that Gödel made the announcement of his incompleteness result, "Under the assumption of the consistency of classical mathematics, one can give examples of propositions that are contentually true, but are unprovable in the formal system of classical mathematics." It was these events which preceded the formal 1931 publishing of Gödels article Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme." (A fragment from Gödel, and his Incompleteness Theorem by Mark Wakim). |
Biogrāfija IV "...according to Gödel's biographer John Dawson, Hilbert and Gödel never discussed it, they never spoke to each other. The story is so dramatic that it resembles fiction. They were both at a meeting in Königsberg in September 1930. On September 7th Gödel off-handedly announced his epic results during a round-table discussion. Only von Neumann immediately grasped their significance... The very next day, September 8th, Hilbert delivered his famous lecture on ``Logic and the understanding of nature.'' As is touchingly described by Hilbert's biographer Constance Reid, this was the grand finale of Hilbert's career and his last major public appearance. Hilbert's lecture ended with his famous words: ``Wir müssen wissen. Wir werden wissen.'' We must know! We shall know!" (from a G.J.Chaitin's lecture, Buenos Aires, 1998). 4 minūtes no sava referāta Hilberts "ierunāja" vietējai radiostacijai: David Hilbert's Radio Broadcast, Königsberg, 8 September 1930 (audio record published by James T.Smith, and translations in 7 languages published by Laurent Siebenmann). Paklausīsimies (šai brīdī Gēdela teorēma jau ir pierādīta...). |
Konkurenti E.Posts Emil Leon Post "... in the 1920s ...proved results similar to those which Gödel, Church and Turing discovered later, but he did not publish them. He reason he did not publish was because he felt that a 'complete analysis' was necessary to gain acceptance... In a postcard written to Gödel in 1938, just after they had met for the first time, Post wrote: ... As for any claims I might make perhaps the best I can say is that I would have proved Gödel's Theorem in 1921 - had I been Gödel." (according to MacTutor History of Mathematics archive). E.Cermelo Gödel met Zermelo in Bad Elster in 1931. "The trouble with Zermelo was that he felt he had already achieved Gödel's most admired result himself. Scholz seemed to think that this was in fact the case, but he had not announced it and perhaps would never have done so. ... The peaceful meeting between Zermelo and Gödel at Bad Elster was not the start of a scientific friendship between two logicians." (according to MacTutor History of Mathematics archive). |
Biogrāfija V Pēc tam, 1930.gada 23.oktobrī Gēdels prezentēja savu rezultātus Vīnes Zinātņu akadēmijas sekcijas sēdē. Tam sekoja maza publikācija: "Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Anzeiger", 1930, N 76, pp.214-215 Savu vēsturisko rakstu K.Goedel. Ueber formal unentscheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. "Monatshefte fuer Mathematik und Physik", 1931, Vol. 38, pp. 173-198 Gēdels iesniedza žurnālam 17.novembrī un tas nāca klajā 1931.gadā (sk. tulkojumu angļu valodā). No 1933.gada Gēdels strādāja kā privātdocents Vīnes universitātē. 1934.gadā Prinstonā Gēdels nolasīja lekcijas par nepilnības teorēmu. Pēc atgriešanās Eiropā (Parīzē) viņam bija nervu sabrukums, vairākus mēnešus viņš ārstējās no depresijas. 30-jos gados Gēdels nodarbojās ar izvēles aksiomas un kontinuum- hipotēzes bezpretrunības pierādījumu (publicēts 1938). |
Ar sievu Adeli kāzu dienā, 1938, rudens |
Biogrāfija VI Par politiku Gēdels neinteresējās. Bet... Kad 1936.gadā M.Šliku nogalināja nacistiski orientēts students, Gēdelam bija otrs nervu sabrukums. 1938.gada martā Hitlers anektēja Austriju. 1939.gadā Gēdelam atteica "pārreģistrēt" viņa privatdocenta amatu, esot bijušas aizdomas, ka viņš ir ebrejs (tā nebija taisnība, kaut gan viņam bija daudz draugu-ebreju). 1940.gadā Gēdelam izdevās dabūt ASV vīzu, kopā ar sievu caur Krieviju un Japānu izceļoja, un no tā laika dzīvoja tur. Attēls no MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits |
Biogrāfija VII Visu atlikušo dzīves laiku Gēdels saņēma algu kā Prinston Institute of Advanced Studies darbinieks, 1953.gadā sasniedzot augstāko statusu - kontraktu, kurā atklāti ierakstīts, ka lekcijas lasīt nav obligāti. 1948.gadā Gēdelam tika piešķirta ASV pilsonība (intervijas laikā viņš atzīmēja, ka atradis ASV konstitūcijā pretrunu, taču tiesnesis atzina par labāku izlikties, ka to nedzird). Goedel' s 1942 summer vacations in Blue Hill, Maine: "...Throughout the summer Louise Frederick received agitated telephone calls from people of the town. Who was this scowling man with a thick German accent walking alone at night along the shore? Many thought Gödel was a German spy, trying to signal ships and submarines in the bay..." (Peter Suber, "Kurt Gödel in Blue Hill"). Prinstonā, Einšteins bija viens no tuvākajiem Gēdela draugiem. Viņi viens otru augstu vērtēja un bieži kopā pastaigājās. Par Gēdela ieguldījumu relativitātes teorijā (publicēts 1949) sk. http://www.ettnet.se/~egils/essay/essay.html. Pēc tam Gēdels turpināja pētīt kontinuum-problēmu, bet neko būtisku vairs nepublicēja... |
|
Biogrāfija VIII "My brother had a very individual and fixed opinion about everything and could hardly be convinced otherwise. " (brāļa Rūdolfa liecība) Pēc Einšteina un von Neimana nāves (1955 un 1957) Gēdela fiziskā un garīgā veselība visu laiku pasliktinājās. Viņš centās izolēties, mainīja dzīvokļus, turēja logus atvērtus, baidīdamies no indīgiem tvaikiem... Arī sievas veselība pasliktinājās. Gēdela vienīgais draugs palika Oskars Morgenšterns (spēļu teorijas radītājs), bet 1977 nomira arī viņš... Beidzot Gēdelam radās pārliecība, ka viņu mēģina noindēt, viņš atteicās ēst, un nomira no badošanās... Gēdels nomira slimnīcā, sēžot krēslā, 1978.gada 14.janvāra pēcpusdienā. Attēls no MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits |
Kāpēc Gēdels nav tik slavens kā Einšteins? Vispilnīgāko atbildi sk. Peter Suber, "Kurt Gödel in Blue Hill". Daži citāti: Pēs savas "nozīmības" loģikas vēsturē Gēdels stāv blakus Aristotelim. Bet kāpēc viņu tikpat kā nepazīst ārpus loģikas un matemātikas profesionāļu vides? Vai tas ir tāpēc, ka Einšteina teorijas tiek uzskatītas par cilvēka saprāta triumfu, bet Gēdela teorēmas - par tā sakāvi? Matemātiķu ticībai, ka cilvēka saprāts spēj atrisināt jebkuru precīzi definētu problēmu, 1931.gadā pienāca gals. Tiesa, matemātiķi ir pielāgojušies pēc-Gēdela pasaules situācijai, un daži pat uzskata, ka nepilnīgā matemātika ir skaistāka par iedomāti pilnīgo. (No sevis piebildīšu, ka tēze par cilvēka saprāta sakāvi 1931.gadā nebūs pieņemama tiem, kuri uzskata, ka Gēdela teorēmas attiecas tikai uz formalizēto matemātiku, un neattiecas uz "dzīvo" matemātiku. Viņi Gēdelu, droši vien, vērtē vēl zemāk...) (C) K.Podnieks, 2004 |
