2.4. Вокруг проблемы континуума

Мы уже видели, каким образом Г.Кантор пришел в 1877 г. к проблеме континуума. Изучая самые различные, в том числе очень сложные бесконечные множества точек, он обнаружил только два типа таких множеств:

- счетные множества (их элементы можно перенумеровать с помощью натуральных чисел),

- множества, эквивалентные отрезку прямой (их можно взаимно однозначно отобразить на отрезок прямой, в этом смысле они имеют мощность континуума).

Поэтому Г.Кантор решил, что всякое бесконечное множество точек либо должно быть счетным, либо имеет мощность континуума, и попытался свое предположение доказать. Однако это ему не удалось ни тогда, ни в последующие 10 и 20 лет. Не удалось это и его многочисленным последователям. В том смысле, как понимал ее Г.Кантор, континуум-проблема не решена до сих пор.

Работая над доказательством континуум-гипотезы Г.Кантор создал теорию порядковых чисел (или - как сегодня принято говорить - ординалов). Порядковые числа - обобщение натуральных чисел. Если натуральные числа используются для подсчета элементов конечных множеств, то порядковые числа - для подсчета элементов любых множеств (в том числе бесконечных). К идее таких обобщенных чисел Г.Кантора привели еще исследования сходимости рядов Фурье (см.раздел 2.1): определив производные множества конечных порядков

P', P'', P''',..., P⁽ⁿ⁾, ...,

он сообразил, что пересечение этих множеств является "производным множеством бесконечного порядка", которое можно обозначить через P^(w) , где w - первое бесконечное порядковое число. Но если от P^(w) взять производную первого порядка, то результат естественно обозначить уже через P^(w+1) , дальше следует P^(w+2), P^(w+3) и т.д. За всеми этими "числами" следует, разумеется, w+w (или w*2). А еще дальше:

w*2+1, w*2+2, ..., w*3, w*3+1, ...,

w*w, w*w+1,...

Однако определить общее понятие о бесконечных порядковых числах непросто. Вот как это делается в теории ZF (следуя идеям Дж.фон Неймана).

Вспомним (см.раздел 2.3), что натуральными числами мы назвали транзитивные множества, идеально упорядоченные отношением принадлежности "in", т.е. x - натуральное число, если

а) (AzAy)(z in y in x -> z in x) (транзитивность),

б) отношение "in" является отношением порядка на x,

в) всякое непустое подмножество x имеет как наибольший, так и наименьший элементы в смысле отношения "in".

Если отбросить в п. в) требование о существовании наибольшего элемента (оставив только наименьший), то получится определение порядкового числа (или ординала) по Дж.фон Нейману: ординал - это транзитивное множество, вполне упорядоченное отношением принадлежности "in".

Упражнение 2.16. Напишите условие "x - ординал" в виде формулы языка теории множеств.

Таким образом, ординалы образуют класс, который принято обозначать через On ("Ordinal numbers"). Сами ординалы будем обозначать через a, b, c и т.д.

Естественным отношением порядка среди ординалов является in:

a<b <-> a in b.

Покажем, что

a in b & "b - ординал" -> "a - ординал",

т.е. элементами ординала (как множества) могут быть только ординалы. Для этого мы должны проверить, что a - транзитивное множество, вполне упорядоченное отношением in. Транзитивность a следует из транзитивности b и того, что in является отношением порядка на b:

x in y in a in b -> y in b & x in b,

поэтому x in y & y in a -> x in a.Вполне упорядоченность a вытекает из транзитивности и вполне упорядоченности b: из a in beta следует, что a - подмножество b (транзитивность b), поэтому если x - непустое подмножество a, то x - непустое подмножество b, т.е. x имеет наименьший элемент в смысле отношения in.

Отсюда для любого ординала a: a={b | b<a}. Это обобщение равенства n = {0, 1, 2, ..., n-1} (n - натуральное число).

Упражнение 2.17. Проверьте, что

а) если a - ординал, то aU{a} - также ординал (причем - наименьший, превосходящий a; вместо aU{a} принято писать a+1),

б) каждый непустой класс ординалов содержит наименьший элемент,

в) если x - множество ординалов, то Ux - также ординал (причем - точная верхняя грань x).

Отсюда, в частности, следует, что On - собственный класс (в этом состоял смысл парадокса Бурали-Форти: если предположить, что Оn - множество, то получается противоречие).

Ординал a называется последующим ординалом, если a=b+1 для некоторого b. В противном случае a называют предельным ординалом. Таким образом, наименьший предельный ординал - 0, второй предельный ординал принято обозначать через w.

Упражнение 2.18. а) Проверьте, что ординалы, меньшие w, - натуральные числа (т.е. w - множество всех натуральных чисел).

б) Проверьте, что если a - предельный ординал, то a=Ua.

Теперь легко доказать принцип трансфинитной индукции: если A - класс ординалов такой, что

а) 0 in A,

б) a in A->a+1 in A,

в) x<=A->Ux in A,

то A=On. Это обобщение принципа математической индукции (дополнительно появился п. в)). В самом деле, если A<>On, то пусть b - наименьший ординал, не входящий в A. Ясно, что b<>0. Если b=a+1, то a in A и поэтому b in A. Если же b - предельный ординал, то все a<b принадлежат A, т.е. b ={a | a<b}<=A и Ub in A. Но b=Ub. Теорема доказана.

Упражнение 2.19. Докажите теорему о трансфинитной рекурсии: если G - функция-класс, то существует единственная функция-класс F, такая, что dom(F)=On и для всех a in On F(a)=G(F|a). Через F|a принято обозначать ограничение функции F на "область" a, т.е.

F|a = {(u, v) | u in a & (u, v) in F}.

Функция G играет здесь роль шага рекурсии: если известны значения F для всех x<a (т.е. все значения функции F|a), то G позволяет "вычислить" F(a).

Если натуральные числа позволяют "пересчитать" любое идеально упорядоченное (конечное) множество, то ординалы позволяют "пересчитать" любое вполне упорядоченное множество, т.е. множество, на котором введено отношение порядка такое, что любое непустое подмножество имеет наименьший элемент. Оказывается, что каждое такое множество изоморфно единственному ординалу.

Упражнение 2.20. Докажите это с помощью трансфинитной рекурсии.

Каждое натуральное число может использоваться для "пересчета" (упорядочения) конечных множеств, но оно может использоваться и для измерения количества элементов множества. С бесконечными порядковыми числами ситуация сложнее: например, ординалы

w,w+1,w+2,...,w*2,...,w*w,...

соответствуют различным упорядочениям счетных множеств. В самом деле, w+2 соответствует порядку

2, 3, 4, 5,..., 0, 1,

а w*2 - порядку

1, 3, 5, 7, 9,..., 2, 4, 6, 8, 10,...

Наконец, w*w соответствует матрице из бесконечного числа бесконечных строк. Все это - только счетные множества. Для измерения количества элементов в них естественно использовать один и тот же наименьший бесконечный ординал w.

Таким образом, целесообразно следующее определение: ординал a называется кардиналом, если a нельзя отобразить одно-однозначно ни на какой ординал b<a. Именно кардиналы естественно использовать для измерения количества элементов бесконечных множеств. Легко видеть, что все натуральные числа - кардиналы, а w - наименьший бесконечный кардинал. А дальше - за w - существуют еще кардиналы?

Используя аксиому множества подмножеств Z24 и схему подстановки Z25, можно доказать, что за каждым кардиналом k существует кардинал l>k, т.е. кардинал, который невозможно одно-однозначно отобразить на k (это теорема Ф.Хартогса, доказанная в 1915 г.). В самом деле, покажем, что все ординалы, которые можно одно-однозначно отобразить на k, образуют множество. Отсюда вытекает (поскольку On - собственный класс), что должны существовать кардиналы, большие k.

Итак, рассмотрим сначала все отношения на множестве k. Каждое такое отношение - подмножество k*k, т.е. элемент множества P(k*k). Нетрудно написать формулу, выделяющую среди всех отношений те, которые вполне упорядочивают k. Из схемы выделения Z21 вытекает, что все эти отношения образуют множество z<=P(k*k). Мы уже знаем, что каждому элементу r in z соответствует единственный ординал a, такой, что вполне упорядоченное множество (k, r) изоморфно (a, in). Определив это соответствие в виде формулы F(r, a), можно применить схему подстановки Z25, сделав вывод, что F"z - множество. Но F"z - это как раз все ординалы, которые можно взаимно однозначно отобразить на k (ведь каждый такой ординал определяет некоторое вполне упорядочение множества k). Тем самым теорема Ф.Хартогса доказана.

Упражнение 2.21. Напишите обе формулы, о которых шла речь в доказательстве.

Таким образом, последовательность кардиналов оказывается неограниченной. Для обозначения бесконечных кардиналов принято использовать первую букву еврейского алфавита - aleph (алеф) с индексами. Так, aleph₀ обозначает w, т.е. первый бесконечный кардинал (счетная мощность). Далее следует aleph₁ - первая несчетная мощность, aleph₂ - вторая несчетная мощность и т.д. А за всеми aleph_n (n - натуральные числа) следует новый кардинал - aleph_w.

Упражнение 2.22. а) Проверьте, что aleph_w = U{aleph_n | n in w}.

б) Докажите более общий результат: если x - множество, состоящее только из кардиналов, то Ux - кардинал.

Имея эти результаты, можно определить aleph_a для каждого ординала a:

aleph₀ = w,

aleph_a+1 = наименьший кардинал, превосходящий aleph_a,

aleph_a = U{aleph_b | b<a}, если a - предельный ординал.

Упражнение 2.23. Проверьте, что для каждого кардинала k существует ординал a такой, что k=aleph_a (т.е. что алефы исчерпывают все кардиналы).

Таков аппарат, созданный Г.Кантором для измерения "мощности" (количества элементов) бесконечных множеств. Правда, алефы подходят для измерения мощности только тех бесконечных множеств, которые можно вполне упорядочить. Каждое ли бесконечное множество можно вполне упорядочить? Г.Кантор считал, что можно... и что это не требует доказательства. Сегодня мы знаем, что утверждение о возможности вполне упорядочить любое бесконечное множество равносильно аксиоме выбора (см. выше).

Как выглядит в свете созданного аппарата континуум-проблема? Если мы принимаем аксиому выбора (работаем в теории ZFC), то множество всех действительных чисел можно вполне упорядочить и поэтому его мощность (обозначим ее через c) можно измерить с помощью какого-либо aleph_a:

(Ea)c=aleph_a

(причем мы уже знаем, что a>0). Континуум-гипотеза утверждает, что всякое бесконечное множество действительных чисел либо является счетным (имеет мощность aleph₀), либо имеет мощность континуума (мощность c). В таком случае на шкале алефов между aleph₀ и c никакие мощности находиться не могут и поэтому c=aleph₁. Так просто формулируется континуум-гипотеза в терминах созданного Г.Кантором аппарата алефов. Разумеется, это могло только усилить веру Г.Кантора в близость окончательного решения континуум-проблемы...

Однако только в 1905 г. Й.Кениг сумел доказать, что c не равно aleph_w (и далее: c<>aleph_a , если a=w*2, w*3,..., w*w,... и вообще, если a - счетный предельный ординал). По существу это все, что известно до сих пор. Никто не сумел доказать ни c<>aleph₂ , ни c<>aleph₃ и т.д.

Теперь мы знаем, что эти трудности не случайны. Начало решения загадки принадлежит К.Геделю, который доказал в 1939 г., что континуум-гипотеза, если ее принять без доказательства, не создает новых противоречий. Более точно, если через Con(T) обозначить утверждение "теория T непротиворечива" (Con - consistent), то результат К.Геделя выглядит так:

Con(ZF) -> Con(ZFC+"c=aleph₁").

Таким образом, если бы принятие аксиомы выбора и континуум- гипотезы привело к противоречиям, то противоречие можно было бы найти уже в теории ZF. К.Гедель доказал, таким образом, и "безопасность" весьма сомнительной аксиомы выбора! Идея, использованная К.Геделем, в общей форме была предложена Д.Гильбертом. Исходя из того факта, что несмотря на всевозможные ухищрения никому не удается построить множество точек с мощностью между aleph₀ и aleph₁, Д.Гильберт предложил попытаться доказать, что такие множества и нельзя построить (может быть, они "существуют", но их нельзя построить). Прошли годы, и только в 1939 г. К.Гедель сумел реализовать эту идею.

К.Гедель определяет последовательность множеств {L_a | a in On} a(наше изложение следует книге К.Дэвлин [1977]):

L₀ = 0,

L_a+1 = Def(L_a) (т.е. все множества, которые можно определить, используя L_a, см. дальше),

L_a = U{L_b | b<a}, если a - предельный ординал.

Класс L = U{L_a | a in On} называется классом конструктивных aмножеств (можно показать, что On<=L, поэтому L оказывается собственным классом). Почему элементы класса L следует считать конструктивными множествами? "Секрет" - во второй строчке определения (третья строчка ничего нового не создает - она только собирает вместе все построенное на предыдущих этапах). Что такое Def(L_a), или в общем случае - Def(m) для множества m? Это все определимые подмножества m (т.е. Def(m)<=P(m)). Определимые с помощью формул языка теории множеств исходя из m. Кванторы в этих формулах должны быть ограничены множеством m, т.е. они могут использоваться только в двух следующих контекстах:

... (Ax)(x in m ->... )... или короче: ...(Ax in m)...,

... (Ex)(x in m &... )... или короче: ...(Ex in m)...

Если формула содержит свободные переменные (параметры), то они могут принимать в качестве значений только элементы из m. Например, формула F(y,z):

y=z V (Ex in m)(Au in m)(u in y <-> u=x)

для каждого значения параметра z, принадлежащего m, определяет подмножество m:

{y | y in m & F(y,z)}.

Элементы m, которые совпадают с z или являются одноэлементными множествами. Разумеется, все это вполне корректно только в случае, когда m - транзитивное множество (т.е. множество, содержащее также элементы своих элементов). Поскольку формул в языке теории множеств существует только счетное число, то, функцию Def(m) можно определить абсолютно корректно (один из вариантов см. в книге Т.Йеха [1973]).

К.Гедель показал, что если к теории ZF присоединить в качестве аксиомы утверждение V=L ("все множества конструктивны"), то можно доказать (как теоремы) и аксиому выбора, и (как ожидал Д.Гильберт) - континуум-гипотезу (c=aleph₁). Далее, К.Гедель показал, что

Con(ZF) -> Con(ZF+"V=L").

Отсюда и вытекает, что и "скандальную" аксиому выбора, и континуум-гипотезу можно принять в качестве аксиом, не боясь впасть в противоречие. Правда, континуум-гипотеза не может претендовать на роль настоящей аксиомы - настолько бедны следствия, которые можно получить из нее. А утверждение V=L ("все множества конструктивны"), напротив, оказывается, настолько богато следствиями, что его стали называть аксиомой конструктивности.

Результат К.Геделя, полученный в 1939 г., не противоречил надеждам Г.Кантора (умершего в 1918 г.) на решение континуум-проблемы. Однако прошло еще 25 лет и американский математик Поль Коэн доказал (в 1963 г.), что эти надежды все же беспочвенны:

Con(ZF) -> Con(ZFC+"c=aleph₂"),

Con(ZF) -> Con(ZFC+"c=aleph₃"),

...

...

и вообще

Con(ZF) -> Con(ZFC+"c=aleph_a+1")

для любого конечного или счетного ординала a. Таким образом, мы можем, не впадая в противоречие, принять в качестве аксиомы любое из следующих утверждений:

c=aleph₁, c=aleph₂, c=aleph₃,...

и даже (как пошутил однажды Н.Н.Лузин) c=aleph₁₇. Соединяя вместе доказанное К.Геделем и П.Коэном, приходится констатировать, что аксиомы ZF, даже если присоединить к ним аксиому выбора, для решения континуум-проблемы недостаточны. Как оценивать этот вывод?

Примечание. Метод Коэна позволяет доказать также независимость аксиомы выбора от аксиом ZF, причем в очень сильной форме (см. Т.Йех [1973]):

Con(ZF) -> Con(ZF+Q),

где Q - следующее утверждение: существует счетное множество x, состоящее из неупорядоченных пар (элементами пар являются множества действительных чисел), такое, что для x не существует функции выбора. Таким образом, из аксиом ZF невозможно вывести существование функции выбора даже для счетного множества пар!

Итак, как действовать в ситуации, когда аксиомы теории множеств оказались недостаточными для решения очень важной проблемы (а также ряда других проблем, см. дальше)? Типичную реакцию работающего математика на такую ситуацию показывает следующее высказывание Н.Н.Лузина, сделанное в 1927 г. (цит. по статье Л.В.Келдыш [1974]):

"Мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность, и она должна находиться на алефической шкале там, где она на ней есть (подчеркнуто мною. - К.П.), нужды нет, если определение этого места затруднительно или, как прибавил бы Ж.Адамар, даже невозможно для нас, людей".

aleph₀ aleph₁ aleph₂ ... aleph_n aleph_{n+1 ...} aleph_{w ...}

|___|___|____... _|___|____... _|___|______...

Аксиомы теории множеств не позволяют решить, где именно на алефической шкале находится мощность континуума, хотя они и позволяют доказать, что она на этой шкале находится. Математик-платоник (см. раздел 1.1), глядя на геометрический образ алефической шкалы, ищет это место глазами! Он не может представить себе ситуацию, когда точка находится на прямой (доказано, что находится!), однако определить точное ее местоположение невозможно. Это нормальный платонизм работающего математика, стимулирующий занятие проблемами любой сложности - ведь заранее никогда неизвестно, разрешима проблема или нет. Однако, переходя к решению методологических вопросов, например, о значении результатов П.Коэна, уже нельзя давать волю платонистским привычкам (полагая, что несмотря на неразрешимость проблемы континуума "для нас, людей", определенное место на алефической шкале для мощности континуума все же "объективно" существует). Это означает допускать существование мира идей ("мира множеств"), не зависящего от аксиом теории множеств, используемых в рассуждениях математиков. Тогда платонизм математический превращается в платонизм философский. Такие люди утверждают, что аксиомы теории множеств не отражают адекватно "подлинный мир множеств", что надо искать "более адекватные" аксиомы, и даже - что никакая фиксированная система аксиом не в состоянии представить мир множеств полностью. Это погоня за миражами - никакого "подлинного мира множеств", не зависящего от аксиом, с помощью которых он исследуется, разумееется, не существует. Корректная же оценка результатов П.Коэна состоит в следующем.

Итак, доказана теорема (Ea)c=aleph_a, но невозможно определить конкретное значение a. Этот эффект свидетельствует о внутреннем несовершенстве традиционной теории множеств (а не о ее неадекватности "миру множеств"). Возможно, следует заняться совершенствованием аксиом теории. И оказывается, что вариантов развития здесь может быть несколько.

Значительный интерес представляет аксиома конструктивности (V=L). Она позволяет решить не только континуум-проблему (доказать, что c=aleph₁), но и другие проблемы, недоступные аксиомам ZF (даже вместе с аксиомой выбора). В качестве второго примера рассмотрим проблему, сформулированную русским математиком М.Суслиным в 1920 г.

Проблема Суслина. Пусть (p,<) - упорядоченное множество, причем

а) p не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов,

б) порядок "<" - плотный (т.е. если x<y, то существует z такое, что x<z<y),

в) множество p - полное (т.е. всякое непустое ограниченное подмножество p имеет наименьшую верхнюю грань и наибольшую нижнюю грань),

г) каждое семейство попарно непересекающихся интервалов p не более чем счетно.

Этими свойствами обладает множество всех действительных чисел. М.Суслин предположил, что всякое упорядоченное множество, обладающее свойствами а) - г), должно быть изоморфно множеству всех действительных чисел (гипотеза Суслина).

Проблема Суслина, казалось бы, касается самих основ "природы" действительных чисел (так же как континуум-проблема). Однако и эта проблема неразрешима в системе аксиом ZFC (см. Т.Йех [1973]).

Упражнение 2.24. Покажите, что проблема Суслина сводится к вопросу: всякое ли упорядоченное множество, обладающее свойствами а) - г), содержит счетное плотное подмножество (среди действительных чисел эту роль играют рациональные числа)?

Из аксиомы конструктивности вытекает отрицательное решение проблемы Суслина: существует упорядоченное множество, обладающее свойствами а) - г), которое не содержит счетных плотных подмножеств (и поэтому не изоморфно множеству всех действительных чисел). Это доказал в 1968 г. Р.Енсен (см. К.Дэвлин [1977]).

Аналогично аксиома конструктивности приводит к решению и других проблем, которые недоступны ZFC. Ряд таких проблем рассматривается в книге К.Дэвлин [1977]. Теория множеств ZF+"V=L" оказывается, таким образом, весьма богатой. Однако многие математики не согласны считать V=L "полноценной" аксиомой. Во-первых, потому, что развернутая ее запись на языке теории множеств содержит несколько тысяч символов, во-вторых, потому, что "неочевидно", почему все множества "должны быть" конструктивными.

Проблема. Мы уже видели, что аксиому бесконечности Z26: (Ex)x=N (ее развернутая запись также оказывается достаточно длинной) можно заменить очень короткой аксиомой (см. раздел 2.3). Насколько коротким можно сделать аналог аксиомы конструктивности?

Аксиома конструктивности кажется подозрительной и противникам аксиомы выбора: обе эти аксиомы позволяют доказать, что множество всех действительных чисел можно вполне упорядочить. Им представляется, что такой результат противоречит "самой природе" действительной прямой. Причем из V=L выводится гораздо более сильный результат: можно написать формулу F(a, x), которая задает функцию, отображающую On на V, т.е. функцию, которая "пересчитывает" класс всех множеств.

Другой путь развития теории множеств, позволяющий преодолеть слабости теории ZFC, был предложен в 1962 г. польскими математиками Я.Мыцельским и Г.Штейнгаузом - так называемая аксиома детерминированности (наше изложение следует книге В.Г.Кановея [1984]).

Каждое множество A последовательностей натуральных чисел (функций типа w->w) задает некоторую игру. Игрок 1 пишет натуральное число a₀. Затем игрок 2 пишет a₁, а игрок 1 - число a₂ и т.д. Цель игрока 1 - добиться, чтобы полученная в результате бесконечная последовательность

a₀, a₁, a₂, ..., a_n,...

оказалась элементом множества A (тогда игрок 1 считается победителем). Игрок 2 преследует прямо противоположную цель - чтобы последовательность не стала элементом A.

Стратегией принято называть функцию S, которая каждой конечной последовательности a₀, a₁, ..., a_n сопоставляет натуральnное число b = S(a₀, a₁, ..., a_n). В игре A стратегия S называется выигрышной для игрока 1, если при любой игре игрока 2:

a₁, a₃, a₅, a₇, a₉,...

последовательность

a₀ = S(lambda) (lambda - пустая последовательность),

a₁,

a₂ = S(a₀, a₁),

a₃,

a₄ = S(a₀, a₁, a₂, a₃),

...

...

принадлежит множеству A. Аналогично можно определить понятие выигрышной стратегии для игрока 2.

Множество A называется детерминированным, если один из игроков имеет выигрышную стратегию в игре A.

Упражнение 2.25. Покажите, что если A - конечное или счетное множество, то игрок 2 имеет выигрышную стратегию. Таким образом, все счетные множества оказываются детерминированными.

Можно доказать детерминированность и других типов множеств. Однако, используя аксиому выбора, можно доказать существование недетерминированного множества. Но поскольку это никому еще не удалось сделать без аксиомы выбора, то многие специалисты полагают, что утверждение

"каждое множество детерминировано"

(это и есть аксиома детерминированности - AD) не противоречит аксиомам ZF (хотя она и противоречит аксиоме выбора).

Важным аргументом в пользу "естественности" AD может служить ее запись в следующей бесконечнокванторной форме (см. В.Г.Кановей [1984]):

(Ea₀)(Aa₁)(Ea₂ ) ... (a₀, a₁, a₂, ...) in A) V (Aa₀)(Ea₁)(Aa₂) .. .~(a₀, a₁, a₂, ...) in A).

Первая часть "формулы" выражает существование выигрывающей стратегии для игрока 1, вторая часть - для игрока 2. Если вторую часть преобразовать к виду

~(Ea₀)(Aa₁)(Ea₂) ... (a₀, a₁, a₂, ...) in A,

то "формула" принимает вид закона исключенного третьего, т.е. становится "очевидной".

Из AD можно вывести счетную аксиому выбора, утверждающую, что функция выбора существует для любого счетного семейства непустых множеств действительных чисел (но AD противоречит полной аксиоме выбора!). Это очень важно, поскольку без счетной аксиомы выбора не может обойтись даже математический анализ. Без нее невозможно было бы доказать, например, что каждое бесконечное множество действительных чисел содержит счетное подмножество и что объединение счетного множества счетных множеств является счетным.

Из аксиомы детерминированности можно вывести, что каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу. Существование неизмеримого множества (известный пример Витали) можно доказать, используя аксиому выбора.

Из AD вытекает также континуум-гипотеза в следующей форме: каждое бесконечное множество действительных чисел либо является счетным, либо имеет мощность континуума. Однако, в теории ZF+AD невозможно доказать вполне упорядочиваемость множества всех действительных чисел (из AD вытекает, что всякое вполне упорядоченное множество действительных чисел является не более чем счетным). Поэтому мощность континуума оказывается здесь несравнимой с алефами (кроме aleph₀).

Таким образом, оба направления (аксиома конструктивности и аксиома детерминированности) уже дали богатый набор красивых и интересных результатов. Эти две теории множеств ничуть не хуже традиционной теории, но они противоречат друг другу. Таким образом, о приближении к единственному "подлинному миру множеств" здесь не может быть и речи.