Around Goedel's Theorem. By K.Podnieks

Латвийский университет

Институт математики и информатики

К.М.Подниекс

ВОКРУГ ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ

Рига "Зинатне" 1992

УДК 164 519.9

П о д н и е к с К. М. Вокруг теоремы Геделя. - Рига: Зинатне, 1992. - 191 с. - ISBN 5-7966-0928-9.

Проведен методологический анализ природы математики. Показано, что сущность математического метода состоит в исследовании застывших моделей. Обоснована несостоятельность утверждений об ограниченности аксиоматического метода. Предлагается следующая методологическая оценка теоремы Геделя о неполноте:

Всякая формальная теория с методологической точки зрения является моделью некоторой застывшей системы мышления. С учетом этого основной вывод из теоремы о неполноте можно переформулировать так: всякая достаточно всеобъемлющая, но застывшая система мышления неизбежно оказывается несовершенной - в ней содержатся либо противоречия, либо проблемы, для решения которых данной (застывшей!) системы недостаточно. Именно в строгом доказательстве принципиального несовершенства всякой застывшей системы мышления состоит подлинный диалектический смысл достижений Геделя.

Изложены важнейшие результаты математической логики XX в., знание которых необходимо для понимания предлагаемой методологической концепции.

Библиогр. 33 назв.

Научный редактор канд.физ.-мат.наук В.К.Детловс

Р е ц е н з е н т ы:

проф., д-р физ.-мат.наук Р.В.Фрейвалд

проф., д-р физ.-мат.наук В.А.Успенский

(С) К.М.Подниекс, 1992

ПРЕДИСЛОВИЕ

Является ли Ваша философия математики платонистской или нет, это можно определить с помощью следующего теста. Рассмотрим последовательность простых чисел-близнецов:

(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),...

Гипотеза: существует бесконечно много пар близнецов. Это предположение не доказано (и не опровергнуто) до сих пор. Верите ли Вы, что несмотря ни на что гипотеза должна быть "объективно" истинной или ложной? Для обоснования своей веры Вы можете воспользоваться следующим рассуждением. Представим себе, что мы продвигаемся вперед вдоль последовательности натуральных чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...

и время от времени встречаем пары близнецов:

(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),...

Существует ведь только две возможности: а) мы доходим до последней пары близнецов и больше их не встречаем (в этом случае гипотеза оказывается ложной), б) пары близнецов появляются все время (тогда гипотеза истинна).

Рассуждая таким образом, Вы демонстрируете свой платонизм. Вы привыкли оперировать натуральными числами так, как будто они составляют некий специфический "мир", который очень похож на мир повседневных вещей. Вы привыкли думать, что на практике любое достаточно определенное утверждение должно быть либо истинным, либо ложным. Поэтому Вы не в состоянии представить третью возможность: количество пар близнецов не является ни конечным, ни бесконечным. Однако такая возможность не будет нас удивлять, если мы осознаем, что система натуральных чисел содержит не только некоторую информацию о действительном мире, но и множество элементов фантазии. Почему Вы полагаете, что этот фантастический мир людям удалось "сфантазировать" так идеально правильно, что на вопрос о количестве близнецов обязательно будет существовать ответ?

Данная монография предназначена для математиков, физиков, философов (в том числе для студентов старших курсов этих специальностей) и всех интересующихся методологическими проблемами науки.

Философы и физики для знакомства с основными методологическими выводами могут ограничиться чтением разделов 1, 2.1, 2.4, 5.1, 5.3, 5.4, 6.1-6.3, пропуская непонятные математические подробности. Математики должны, вообще говоря, изучить весь материал, за исключением разделов 2.4 и 4.3-4.7, которые могут изучаться факультативно.

Издание может использоваться в качестве учебного пособия по курсу математической логики (как вторая его часть - после изучения исчисления высказываний и исчисления предикатов).

В разделе 4 изложено решение десятой проблемы Гильберта - одно из самых красивых рассуждений в истории математики.

Автор выражает признательность научному редактору В.К.Детловсу за множество предложений, способствовавших улучшению текста.

Октябрь 1991 г. К. П о д н и е к с

1. ПРИРОДА МАТЕМАТИКИ

1.1. Платонизм - философия работающих математиков

Французский математик Шарль Эрмит сказал как-то: он убежден в том, что числа и функции - это не изобретения математиков, они существуют независимо от нас, как существуют вещи реального мира. Было время, когда это высказывание цитировалось как свидетельство "стихийного материализма выдающихся ученых".

Однако такие высказывания математиков свидетельствуют совсем о другом - об их стихийном платонизме. Платонистское отношение математиков к объектам своих исследований обусловлено самой природой математического метода. Но, разумеется, при решении методологических вопросов такой философии придерживаться уже нельзя. Как трудно, однако, изменить привычки, обретенные в ходе повседневной работы, когда переходишь в сферу методологии...

Но сначала - о платонизме самого Платона (427-347 гг. до н.э.), который жил на закате "золотого века" Древней Греции. В 431-404 гг. до н.э. велась обескровившая Грецию Пелопоннесская война, а в 337 г. - через 10 лет после смерти Платона - Грецию покорила Македония. В своей конкретной форме философия Платона сформировалась под влиянием греческой математики.

Развитие греческой математики в VI-V вв. до н.э. привело к образованию математических объектов в современном смысле этого слова: представления о числах, точках, прямых и т.д. стабилизировались и тем самым оторвались от своего первоисточника - свойств и отношений объектов реального мира. "Математическая прямая не имеет ширины, а точка вообще не имеет размеров". Ничего в точности такого в реальном мире нет: вместо прямых встречаются более или менее гладкие полосы, а вместо точек - пятна различной формы и размеров. Однако без этого перехода к идеализированному (но зато стабильному, застывшему) миру точек, прямых и т.д. математические знания остались бы на уровне ремесла, так и не достигнув уровня науки. Только идеализация (упрощение, исключение второстепенных деталей) сделала возможным такой эффективный инструмент, как евклидова геометрия.

В свою очередь, понятие натурального числа (1,2,3,4,...) возникло в ходе оперирования совокупностями несливающихся предметов. Процесс становления этого понятия завершился по-существу уже в VI в. до н.э., когда во времена Пифагора были доказаны первые теоремы о системе натуральных чисел в целом, например, теорема о том, что простых чисел существует "больше любого наперед заданного количества". Ясно, что об эмпирической проверке таких утверждений речи быть не может. Но в то время понятие натурального числа уже оторвалось от своего реального источника - "количественных закономерностей совокупностей несливающихся предметов", и стало функционировать самостоятельно - как модель. Натуральный ряд чисел - это идеализация упомянутых количественных закономерностей. Человек абстрагировал его на основе практического опыта с небольшими совокупностями (1, 2, 3, 10, 100, 1000 и т.д. предметов). Для совокупностей гораздо больших (многие миллионы предметов) он предположил аналогичные закономерности и тем самым идеализи- ровал (а может быть, как заметил П.К.Рашевский [1973], даже исказил) реальную ситуацию.

В самом деле, количество атомов в данном листе бумаги - четное или нечетное? С точки зрения традиционной арифметики оно "обязано" (в каждый момент времени) быть либо четным, либо нечетным. В действительности же лист бумаги никакого точного числа атомов не имеет (хотя бы из-за сотен тысяч ядерных реакций, происходящих каждую секунду под воздействием космических лучей). Кроме того, согласно новейшим космологическим теориям, полное число элементарных частиц во Вселенной значительно меньше 10²⁰⁰. Как мы должны тогда относиться к утверждениям вроде "10²⁰⁰ +1 - нечетное число"? Очевидно, таким образом, что арифметика занимается не только практически полезными алгоритмами вычисления, но и вещами совершенно фантастическими, лишенными непосредственного реального смысла.

Разумеется, древние греки не могли видеть все это столь ясно. Рассуждая о количестве простых чисел, они думали, что обсуждают вещи столь же реальные, как те совокупности предметов, от которых понятие натурального ряда было абстрагировано.

Итак, первый в истории математики процесс идеализации закончился стабилизацией понятий о числах, точках, прямых и т.д. Эти понятия определились и надолго стали общепринятыми в обществе математиков. Этот момент наступил еще в V в. до н.э. Стабилизация понятий свидетельствует об их отделении от реальных объектов, обращение с которыми привело людей к выработке этих понятий. Ведь застывшим может стать только понятие, уже оторванное от своих реальных прообразов, продолжающих самостоятельную жизнь и содержащих огромное разнообразие второстепенных и изменяющихся нюансов. Работая в области геометрии, математик исследует не непосредственно отношения реальных объектов, а свое сложившееся (застывшее) представление о них - идеализированный "мир" точек, прямых и т.д. Если бы он во время своих размышлений постоянно вспоминал об особенностях реальных вещей (о степени их гладкости и т.п.), то вместо науки (общих, эффективных и далеко идущих геометри- ческих методов) мы имели бы только простейшие, специфические алгоритмы, найденные путем проб и ошибок или с помощью элементарной интуиции. Именно на таком уровне остановилось развитие математики Древнего Востока.

Для греческих философов появление математического метода было новостью: исследовать не непосредственно природу, а какое-то застывшее представление о ней, субъективно воспринимаемое в процессе исследования как "последняя" реальность, дальше которой ничего нет. Рождение математического метода разные философы отметили по-разному (но, разумеется, никто из них не сумел тогда дать правильную оценку такого сложного явления). Платон, изучая математику, пришел к весьма оригинальному мировоззрению, согласно которому существует два мира: мир идей (идеально строгий и точный, упорядоченный и гармоничный - как мир геометрических образов) и мир вещей (несовершенный, "размытый", хаотический). Каждая реальная вещь представлялась Платону несовершенной, приблизительной реализацией своей "идеи" (которая существует независимо от самой вещи в мире идей). Характерно также остроумное, но совершенно фантастическое представление Платона о природе математического исследования: перед рождением человека его душа обитает в мире идей, а во время своей земной жизни, занимаясь математикой, она постепенно вспоминает опыт, обретенный в мире идей. Разумеется, это перевернутое вверх ногами представление о действительной природе математического метода. Конечный результат развития математических понятий - застывшая система идеализированных объектов - принимается Платоном за исходную позицию, вокруг которой "танцуют" вещи реального мира. Платон старался по-своему объяснить стороны процесса познания, которые были недоступны философии его времени из-за недостаточной конкретно-научной базы. В данном случае речь шла об объяснении природы идеализированных математических объектов. Для правильного ее объяснения греческая наука не имела достаточной базы в таких областях, как физика, биология, физиология и психология.

Сегодня мы называем платонизмом любую философскую позицию, которая какую-либо систему идеальных объектов человеческой мысли трактует как особый, независимо существующий мир. Именно такой оказывается и философия "работающих" математиков, которые, как правило, не задумываются о "природе" своей деятельности.

Платонистское отношение к объектам своего исследования неизбежно для математика: в своей повседневной работе он оперирует числами, функциями, точками, прямыми и т.д. как объектами, составляющими некоторое подобие мира, как "последней реальностью", за которой нет никакой другой, "более подлинной" реальности. Да и как иначе можно глубоко исследовать систему понятий, которая стабилизировалась и оторвалась от своего первоисточника? Именно в платонизме работающих математиков - одна из "тайн" творческой силы математики!

Это объясняет и неизбежность элементов платонизма в мировоззрении математиков, как правило, не очень искушенных в философии. Привычки, обретенные в повседневной работе, обладают огромной силой. Когда математик, не имеющий достаточной философской подготовки, берется за решение методологических вопросов, за объяснение природы своих результатов, он невольно привносит в рассуждения элементы платонизма. Этим страдали и страдают в равной мере как рядовые, так и великие математики. Заявления математиков об объективном характере своих результатов - как правило, не материализм, а платонизм! Самые выдающиеся среди немногих исключений из этого правила - А.Н.Колмогоров и В.М.Глушков.

Правда, платоник в некотором смысле "лучше" субъективного идеалиста, утверждающего, что математические объекты - произвольные творения человеческого ума. Следует, однако, различать людей, которые просто объявляют свои построения объективными, существующими независимо от нас, людей, и материалистов, которые пытаются объяснить происхождение математических понятий и определить закономерности их развития.

Является ли Ваша собственная философия математики платонистской или нет, это легко определить с помощью следующего теста. Рассмотрим последовательность

простых чисел-близнецов:

(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),...

(простые числа принято называть близнецами, если их разность равна 2). Гипотеза: существует бесконечно много пар близнецов. Это предположение не доказано (и не опровергнуто) до сих пор. Верите ли Вы, что несмотря ни на что, гипотеза должна быть "объективно" истинной или ложной? Для обоснования своей веры Вы можете восполь- зоваться следующим рассуждением. Представим себе, что мы продвигаемся вперед вдоль последовательности натуральных чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...

и время от времени встречаем пары близнецов:

(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),...

Рассуждая таким образом, Вы демонстрируете свой платонизм. Вы привыкли оперировать натуральными числами так, как будто они составляют некий специфический мир, который очень похож на мир повседневных вещей. Вы привыкли думать, что на практике любое достаточно определенное утверждение должно быть либо истинным, либо ложным. Поэтому Вы и не в состоянии представить третью возможность: количество пар близнецов не является ни конечным, ни бесконечным. Однако такая возможность не будет нас удивлять, если мы вспомним, следуя П.К.Рашевскому, что система натуральных чисел содержит не только некоторую информацию о действительном мире, но и множество элементов фантазии. Почему Вы полагаете, что этот фантастический мир людям удалось "сфантазировать" так идеально правильно, что на вопрос о количестве близнецов обязательно будет существовать ответ?

(Другая иллюстрация платонистского подхода к методологическим вопросам математики - высказывание Н.Н.Лузина о континуум-проблеме в разделе 2.4.)

И Ваш платонизм, и платонизм Н.Н.Лузина - это нормальный платонизм работающего математика, стимулирующий занятие проблемами любой сложности - ведь заранее никогда неизвестно, разрешима проблема или нет.

Однако, переходя к решению методологических вопросов, уже нельзя давать волю платонистским привычкам (полагая, что несмотря на неразрешимость проблемы близнецов "для нас, людей", их количество "объективно" является либо конечным, либо бесконечным). Это означает допускать существование мира идей (мира чисел), не зависящего от аксиом, используемых в рассуждениях математиков. Тогда платонизм математический превращается в платонизм философский. Такие люди утверждают, что традиционные аксиомы не передают адекватно все богатство содержательной математики, что надо искать более адекватные аксиомы, и даже - что никакая фиксированная система аксиом не в состоянии представить богатство математики полностью. Это погоня за миражами - никакого подлинного мира математики, не зависящего от аксиом, с помощью которых он исследуется, разумеется, не существует. Правильная же оценка ситуации состоит в следующем.

Если обнаружено, что традиционные аксиомы математики не позволяют решить какую-либо проблему, то это свидетельствует о внутреннем несовершенстве данных аксиом (а не об их неадекватности какому-то "миру"). Возможно, следует заняться совершенствованием аксиом. И всегда оказывается, что вариантов развития, как правило, несколько. Например, можно принять так называемую аксиому конструктивности или противоречащую ей аксиому детерминированности (см. раздел 2.4). Так как эти варианты противоречат друг другу, то о приближении к единственному "подлинному миру математики" здесь не может быть и речи.

Наш главный вывод состоит в следующем: хотя повседневная работа математиков постоянно толкает их в платонизм (и как творческий метод этот платонизм весьма эффективен), при решении методологических вопросов от него следует сознательно отказы- ваться. Игнорирование этой проблемы - основной недостаток многих философских сочинений, посвященных математике.

1.2. Исследование застывших моделей - сущность математического метода

Термин "модель" используется ниже в смысле, принятом в прикладной математике, а не в логике (т.е. мы будем обсуждать модели природных процессов и технических устройств, а не модели множеств формул).

Что характерно для математического подхода к решению какой-либо (физической, технической и т.п.) проблемы? Характерно прежде всего стремление как можно скорее "покончить с реальностью", перейти к исследованию определенной (фиксированной) математической модели. Поэтому в процессе формулирования задачи часто задаются вопросы: можно ли предположить, что данная зависимость линейна, можно ли пренебречь такими-то возмущениями, можно ли считать данное распределение вероятностей равномерным (нормальным или пуассоновским) и т.д., и т.п. Во всем этом видно стремление скорее и с использованием по возможности меньшего числа исходных принципов сформулировать математическую задачу, решение которой несмотря на сделанные упрощения дало бы какое-то решение исходной проблемы.

Математики приучают себя к жизни (именно к жизни!) в мире математических понятий, а в отдельные периоды (пока идет разработка конкретной проблемы) - даже в узко-специальном мире определенной модели. После того как модель создана, для математиков ее исследование становится самоцелью. В процессе работы они отвлекаются от отражающего аспекта модели, совершенно игнорируют его. Именно в этом - причина платонистского отноше- ния математиков к объектам своих исследований. Именно в этом - источник творческой силы математики, источник "непостижимой эффективности математики в естествознании и технике" (Е.Вигнер). Благодаря такому подходу математики умеют извлекать максимум следствий из минимума посылок. Именно разработанность математических моделей (наличие готовых алгоритмов, общих методов) делает их применение таким эффективным. Ведь модель, если ее единственное достоинство - адекватность оригиналу, сама по себе бесполезна, если нет методов и алгоритмов, позволяющих в реальное время вывести заключения, дающие новые знания об оригинале. И ключ к этой разработанности - умение математиков (буквально) жить в мире разрабатываемой модели, забывая обо всем другом. Это даже создает для некоторых из них репутацию сухарей, отшельников и чудаков.

Таким образом, платонизм является фактически психологией работающих математиков, и философией он оказывается только с их собственной субъективной точки зрения.

С появлением математики все научные теории следовало бы делить на два класса:

а) теории с развивающейся системой принципов,

б) теории с застывшей системой принципов.

Теории класса а) в ходе своего развития обогащаются новыми принципами, которые нельзя обосновать ранее принятыми. Появлению таких принципов мы обязаны фантазии специалистов, которые опираются на все более совершенную экспериментальную базу. Прогресс теории состоит здесь прежде всего в этом процессе обогащения.

С другой стороны, в математике, физике, отчасти в химии и совсем редко в других науках встречаются теории, принципиальная основа которых со временем не меняется, а если и меняется - это изменение квалифицируется как переход к новой теории. Так, на теорию относительности А.Эйнштейна можно смотреть как на уточнение классической механики И.Ньютона, как на дальнейшее развитие той же ньютоновской теории. Но поскольку обе теории очень точно определены, то на переход "от Ньютона к Эйнштейну" можно смотреть и как на переход к другой теории. Развитие этих теорий продолжается по сей день: доказываются новые теоремы, изобретаются новые методы расчетов и т.д. Однако принципиальная основа (исходные постулаты) каждой из них остается неизменной (такой, какой она была при жизни их создателей). Только те положения признаются относящимися к данной теории, которые можно вывести из (давно известных) ее основных принципов. Все, что выходит за рамки этих принципов, относится уже к другой теории.

Застывшая система основных принципов - отличительная особенность всякой математической теории. Математическая модель какого-либо явления природы или технического устройства - это непременно застывшая модель, сближению которой с оригиналом положен предел. Только такую модель может исследовать математик. Всякая попытка уточнить модель (видоизменить ее определение с целью еще больше приблизить к оригиналу) приводит к новой модели, которая опять должна "застыть", чтобы ею мог заниматься математик. Формирование математических моделей, их уточнение - это не собственно математическая деятельность, она относится к той отрасли науки или техники, которая заинтере- сована в конечном результате исследования.

Сформулированная выше концепция сущности математики не является общепринятой и, как правило, воспринимается с трудом. Что же препятствует восприятию математических теорий как застывших? "Во-первых, математические теории почти никогда не рассматриваются изолированно одна от другой.... теория множеств одновременно с ее возникновением начала применяться к изучению геометрических объектов (собственно, для этого она и была создана). Чем продуктивнее, чем ближе к практике математическая теория, тем сильнее проявляется эта тенденция. Во-вторых, внутри любой теории ее теоремы состоят, как правило, из двух частей: условия и заключения. Заключение теоремы является, таким образом, следствием не только застывшей совокупности аксиом, но и конкретного, специфического для данной теоремы условия. А что такое условие, как не расширение застывшей системы принципов? В-третьих, любая математическая теория открыта для пополнения новыми понятиями. Так, в анализе вслед за понятием непрерывности функции вводятся: понятие точки разрыва, классификация таких точек, понятие функции, непрерывной на отрезке,..., равномерной непрерывности, условие Лифшица,... и т.д. Исследуются свойства каждого нового понятия, и эти свойства постепенно оттесняют далеко на задний план исходную совокупность аксиом.... Все это нисколько не противоречит тезису о неизменности исходной системы принципов (аксиом и правил вывода), но препятствует восприятию математических теорий как "застывших" работающими математиками." (из письма С.С.Лаврова, 1988 г.)

Итак, математический метод - исследование застывших моделей. Очень важно, что математическая модель (именно потому, что она застывшая) уже не привязана жестко к оригиналу. Может оказаться, что модель была выбрана неудачно (плохо отвечает оригиналу), однако это не препятствует ее исследованию - ведь застывшая модель точно определена. Можно сказать поэтому, что математическая модель "не нуждается" в оригинале, она не обязательно является моделью чего-то, она - модель "сама по себе". Такую модель можно видоизменить (получив новую), руководствуясь уже не интересами соответствия оригиналу, а просто ради эксперимента или исходя из эстетических соображений. Так легко получаются "модели сами по себе", не имеющие реальных оригиналов. Застывший характер математических моделей делает это явление возможным и даже неизбежным.

Если математический метод - исследование застывших моделей, то чем является в таком случае сама математика? Модели могут быть более или менее общими (сравним, например, школьную арифметику, теорию относительности и какую-либо конкретную модель Солнечной системы). Частные модели лучше всего исследовать под руководством специалистов, которые эти модели строят и используют. Сочетание специальной подготовки с достаточной математической подготовкой (в одном человеке или в коллективе) будет здесь наиболее эффективным. Исследование же моделей, которые представляют более общий (или даже всеобщий) интерес и имеют широкую область применения (применимы в исследовании целого ряда более специальных моделей), составляет содержание особой науки, которую принято называть математикой. Так, своей широкой применимостью в различных областях науки примечателен математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисление). Это типичный пример модели (теории), которая относится к математике. С другой стороны, конкретная модель Солнечной системы (используемая, в частности для точного предсказания солнечных затмений) является слишком специальной, чтобы относить ее к математике (хотя это и математическая модель).

Застывший характер математических моделей и теорий составляет как силу, так и слабость математики. Извлечь максимум информации из минимума посылок - это умение математиков многократно доказало свою эффективность в науке и технике. Однако обратной стороной такой силы является слабость: никакая конкретная застывшая модель (теория) не в состоянии решить все проблемы, возникающие в науке (или даже только в математике). Этот диалектический тезис блестяще подтвердился в знаменитой теореме Геделя о неполноте.

И еще одна слабость: математика, оторвавшись от действительных проблем, управляемая только своими "внутренними потребностями", на наших глазах расплывается и разбухает... Создаются теории и целые отрасли математики, которые еще долго не будут (а может быть, принципиально не могут) применяться к исследованию реальных проблем. Как пошутил польский писатель С.Лем в своей книге "Сумма технологий", математик - сумасшедший портной, который шьет "всевозможные одежды", надеясь сшить и кое-что пригодное для одевания. Как мы видели, эти отрицательные явления - неизбежное следствие самой природы математического метода.