СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Для классических трудов в квадратных скобках дается год публикации оригинала.
А д а м а р Ж. [1945]
Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Сов. радио, 1970. - 121 c.
Б и р ю к о в Б. В. [1985]
Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики. - М.: Знание, 1985. - 192 с.
Б у х ш т а б А. А. [1966]
Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с.
Г и л ь б е р т Д. [1900]
Математические проблемы // Проблемы Гильберта. - М.: Наука, 1969. - сс. 11-64.
Г и л ь б е р т Д., Б е р н а й с П. [1934]
Основания математики: Логические исчисления и формализация арифметики. - М.: Наука, 1979. - 557 с.
Г и л ь б е р т Д., Б е р н а й с П. [1939]
Основания математики: Теория доказательств. - М.: Наука, 1982. - 652 с.
Г р э х е м Р. [1984]
Начала теории Рамсея. - М.: Мир, 1984. - 96 с.
Д р а г а л и н А. Г. [1979]
Математический интуиционизм: Введение в теорию доказательств. - М.: Наука, 1979. - 256 с.
Д э в и с М. (Davis M., ed.) [1965]
The Undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions. - New York: Raven Press, 1965. - 440 p.
Д э в л и н К. (K.J.Devlin) [1977]
The axiom of constructibility. A guide for the mathematician // Lecture Notes in Computer Science. - Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1977.- Vol. 617. - 96 p.
Й е х Т. [1973]
Теория множеств и метод форсинга. - М.: Мир, 1973. - 150 с.
К а н о в е й В. Г. [1984]
Аксиома выбора и аксиома детерминированности. - М.: Наука, 1984. - 64 с.
К е л д ы ш Л. В. [1974]
Идеи Н.Н.Лузина в дескриптивной теории множеств // Успехи мат. наук. - 1974. - Т.29, вып.5. - сс. 183-196.
К л и н и С. К. [1957]
Введение в метаматематику. - М.: Изд-во иностр.лит., 1957.- 526 с.
К у з и ч е в а З. А. [1970]
К истории теорем о неполноте // История и методол. естеств. наук. Сер. Математика и механика. - 1970. - Вып.9. - сс. 182-189.
К у ш н е р Б. А. [1973]
Лекции по конструктивному математическому анализу. - М.: Наука, 1973. - 425 c.
Л е в и П. (Levy P.) [1926]
Sur le principe du tiers exclu et sur les theoremes non susceptibles de demonstrations // Rev. Metaphys. Morale. - 1926. - Vol.33, N2. - P. 253-258.
М а т и я с е в и ч Ю. В. [1970]
Диофантовость перечислимых множеств // Докл. АН СССР. - 1970. - Т.191, N1. - сс. 279-282.
М е д в е д е в Ф. А. [1965]
Развитие теории множеств в XIX веке. - М.: Наука, 1965. - 350 с.
М е д в е д е в Ф. А. [1982]
Ранняя история аксиомы выбора. - М.: Наука, 1982. - 303 с.
М е н д е л ь с о н Э. [1976] Введение в математическую логику. - М.: Мир, 1976. - 320 с.
П а р и с Дж., Х а р р и н г т о н Л. [1977]
Математическая неполнота в арифметике Пеано // Справочная книга по математической логике: В 4 ч. / Под ред. Дж.Барвайса. - М.: Наука, 1983. - Ч.4.- сс. 319-327.
П а р и х Р. (R.Parikh) [1971]
Existence and feasibility in arithmetic // J. Symbolic Logic. - 1971. - Vol.36, N3. - P. 494-508.
П о д н и е к с К. М. [1975]
Теорема о двойной неполноте // Учен. зап. Латв. ун-та. - 1975. - Т.233. - С. 191-200. П о д н и е к с К. М. [1976]
Теорема о двойной неполноте // Четвертая Всесоюз. конф. по мат. логике. - Кишинев: Штиинца, 1976. - С. 80.
П о д н и е к с К. М. [1981]
Вокруг теоремы Геделя. - Рига: Латв. ун-т, 1981. - 105 с.
П о д н и е к с К. М. [1988а]
Платонизм, интуиция и природа математики. - Рига: Латв. ун-т, 1988. - 23 с.
П о д н и е к с К. М. [1988б]
Platonism, intuition and the nature of mathematics // Heyting'88. Summer School and Conf. on Math. Logic. September, 1988, Chaika, Bulgaria. Abstracts. - Sofia: BAN, 1988. - P. 50-51.
П у а н к а р е А. [1908]
Математическое творчество // Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983. - С. 309-320.
Р а б и н М. [1977]
Разрешимые теории // Справочная книга по математической логике. В 4 ч. / Под ред. Дж.Барвайса. - М.: Наука, 1982. - Ч.3. - С. 77-111.
Р а ш е в с к и й П. К. [1973]
О догмате натурального ряда. //Успехи мат. наук. - 1973. - Т.28, вып.4. - С. 243-246.
С т я ж к и н Н. И. [1967]
Формирование математической логики. - М.: Наука, 1967. - 400 с.
У с п е н с к и й В. А. [1982]
Теорема Геделя о неполноте. - М.: Наука, 1982. - 112 с.
Предисловие........................................... 5
1. Природа математики .................................... 7
1.1. Платонизм - философия работающих математиков... 7
1.2. Исследование застывших моделей - сущность математического метода ... 13
1.3. Интуиция и аксиоматизация ..................... 18
1.4. Формальные теории ............................. 26
1.5. Логика ......................................... 29
1.6. Программа Гильберта ............................ 33
2. Аксиоматическая теория множеств ....................... 37
2.1. Возникновение интуитивной теории множеств ...... 37
2.2. Формализация противоречивой теории множеств .... 43
2.3. Аксиомы Цермело-Френкеля ....................... 47
2.4. Вокруг проблемы континуума ..................... 61
3. Элементарная арифметика ............................... 75
3.1. От аксиом Пеано до аксиом элементарной арифметики ..............75
3.2. Натуральные числа в других теориях ............. 84
3.3. Теорема о представимости ....................... 86
4. Десятая проблема Гильберта ............................ 97
4.1. История проблемы и ее решения .................. 97
4.2. Начало и план доказательства ................... 102
4.3. Исследование уравнения Ферма ................... 105
4.4. Диофантово представление последовательности решений уравнения Ферма 111
4.5. Диофантово представление экспоненты ............ 115
4.6. Диофантовы представления числа сочетаний и факториала ...... 118
4.7. Устранение ограниченного квантора всеобщности ... 121
5. Теоремы о неполноте ................................... 126
5.1. Парадокс лжеца ................................. 126
5.2. Лемма об автоссылках ........................... 128
5.3. Теорема Геделя о неполноте ..................... 131
5.4. Вторая теорема Геделя .......................... 139
6. Вокруг теоремы Геделя ................................. 146
6.1. Методологическое значение теорем о неполноте ... 146
6.2. Теорема о двойной неполноте .................... 151
6.3. Проблема творчества в математике ............... 155
6.4. Теорема о сокращении доказательств ............. 158
6.5. Теорема Геделя в диофантовой форме ............. 162
6.6. Теорема Леба ................................... 164
Приложение 1. Из теории моделей .......................... 166
Приложение 2. Вокруг теоремы Рамсея ..................... 173
Список литературы ........................................ 186
K.M.Podnieks. AROUND GOEDEL'S THEOREM. Riga: Zinatne, 1992, 191 pp.
CONTENTS
Preface................................................ 5
1.1. Platonism - the philosophy of working mathematicians.................................... 7
1.2. Investigation of fixed models - the essence of the mathematical method............13
1.3. Intuition and axiomatization...................... 18
1.4. Formal theories................................... 26
1.5. Logics............................................ 29
1.6. Hilbert's program................................. 33
2. Axiomatic set theory............................... 37
2.1. The origin of the intuitive set theory............ 37
2.2. Formalization of the inconsistent set theory...... 43
2.3. Zermelo-Fraenkel axioms........................... 47
2.4. Around the continuum problem...................... 61
3. First order arithmetics................................ 75
3.1. From Peano axioms to first order axioms........... 75
3.2. How to find arithmetics in other formal theories.. 84
3.3. Representation theorem............................ 86
4. Hilbert's Tenth problem................................ 97
4.1. History of the problem and its solution........... 97
4.2. Overwiew of the proof............................. 102
4.3. Investigation of the Fermat's equation............ 105
4.4. Diophantine representation of solutions of the Fermat's equation..............111
4.5. Diophantine representation of the exponent function..................................... 115
4.6. Diophantine representations of combinations and factorial............................118
4.7. Elimination of bounded universal quantors......... 121
5. Incompleteness theorems................................ 126
5.1. Liar's paradox................................ 126
5.2. Self reference lemma.............................. 128
5.3. Goedel's incompleteness theorem................... 131
5.4. Goedel's second theorem........................... 139
6. Around Goedel's theorem............................ 146
6.1. Methodological consequences....................... 146
6.2. The double incompleteness theorem................. 151
6.3. The "creativity problem" in mathematics........... 155
6.4. On the size of proofs............................. 158
6.5. The "diophantine" incompleteness theorem.......... 162
6.6. Loeb's theorem.................................. 164
Appendix I. About the model theory........................ 166
Appendix II. Around the Ramsey's theorem..................173
References................................................ 186
Карл Мартынович Подниекс
ВОКРУГ ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ
Редактор Н. Д у н д и н а.
Художественный редактор И. Е г е р е.
Технический редактор Л. Д е м и д о в а.
Корректор Н. Л е б е д е в а.
Подписано в печать 05.12.91. Формат 60x84116.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
11,16 усл.печ.л., 10,52 уч.-изд.л.
Тираж 1000 экз. Заказ N .
Издательство "Зинатне" ЛатвАН.
226530 ГСП Рига, ул.Тургенева, 19.
Регистрационное удостоверение N 20250.
Отпечатано в цехе оперативной полиграфии
издательства "Зинатне" ЛатвАН.
226050 Рига, ул.Мейстару, 10